z = x²+2xy-y² + 4x, D: x-y+1=0, x=3, y=0.

Решение:

Задана функция \( z = x^2 + 2xy - y^2 + 4x \) и область \( D \), ограниченная линиями \( x - y + 1 = 0 \), \( x = 3 \) и \( y = 0 \).

Для нахождения экстремумов функции в области \( D \) нужно:

1. Найти частные производные первого порядка и приравнять их к нулю, чтобы найти критические точки внутри области.
2. Исследовать функцию на границах области \( D \).

1. Критические точки внутри области:

Найдем частные производные:

\( \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 2y + 4 \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = 2x - 2y \)

Приравняем производные к нулю:

\( 2x + 2y + 4 = 0
⇒ x + y + 2 = 0 \)

\( 2x - 2y = 0
⇒ x - y = 0 \)

Из второго уравнения \( x = y \). Подставим в первое:

\( x + x + 2 = 0
⇒ 2x = -2
⇒ x = -1 \)

Тогда \( y = -1 \). Критическая точка \( (-1, -1) \).

Проверим, принадлежит ли эта точка области \( D \). Границами области являются прямые \( y = x + 1 \), \( x = 3 \), \( y = 0 \).

Для точки \( (-1, -1) \): \( -1 = -1 + 1
⇒ -1 = 0 \) — неверно. Точка \( (-1, -1) \) не лежит на границе \( y = x + 1 \).

Также, \( x = -1 \) и \( y = -1 \) не удовлетворяют условию \( x \le 3 \) и \( y \ge 0 \). Значит, критических точек внутри области нет.

2. Исследование на границах области:

Область \( D \) — треугольник с вершинами:

• \( A \): \( y = 0, x = 3 \) → \( (3, 0) \)
• \( B \): \( y = 0, x - y + 1 = 0
  ⇒ x - 0 + 1 = 0
  ⇒ x = -1 \) → \( (-1, 0) \)
• \( C \): \( x = 3, x - y + 1 = 0
  ⇒ 3 - y + 1 = 0
  ⇒ y = 4 \) → \( (3, 4) \)

Уточнение: Судя по условию \( x=3, y=0 \) одна из вершин. И \( x-y+1=0 \). Если \( y=0 \), то \( x+1=0 \Rightarrow x=-1 \). Если \( x=3 \), то \( 3-y+1=0
⇒ y=4 \). Вершины: \( (-1,0), (3,0), (3,4) \).

Переопределим область: \( D \) — треугольник с вершинами \( (-1, 0), (3, 0), (3, 4) \).

а) Граница 1: \( y = 0 \), \( -1 ≤ x ≤ 3 \)

Подставим \( y=0 \) в функцию: \( z = x^2 + 4x \). Найдём производную по \( x \): \( z' = 2x + 4 \).

Приравняем к нулю: \( 2x + 4 = 0
⇒ x = -2 \). Эта точка не принадлежит отрезку \( [-1, 3] \).

Вычислим значения на концах отрезка:

При \( x = -1 \): \( z = (-1)^2 + 4(-1) = 1 - 4 = -3 \).

При \( x = 3 \): \( z = (3)^2 + 4(3) = 9 + 12 = 21 \).

б) Граница 2: \( x = 3 \), \( 0 ≤ y ≤ 4 \)

Подставим \( x=3 \) в функцию: \( z = 3^2 + 2(3)y - y^2 + 4(3) = 9 + 6y - y^2 + 12 = 21 + 6y - y^2 \). Найдём производную по \( y \): \( z' = 6 - 2y \).

Приравняем к нулю: \( 6 - 2y = 0
⇒ y = 3 \). Эта точка принадлежит отрезку \( [0, 4] \).

Вычислим значение в критической точке \( y=3 \) (при \( x=3 \)): \( z = 21 + 6(3) - 3^2 = 21 + 18 - 9 = 30 \).

Вычислим значения на концах отрезка:

При \( y = 0 \) (точка \( (3,0) \)): \( z = 21 + 6(0) - 0^2 = 21 \).

При \( y = 4 \) (точка \( (3,4) \)): \( z = 21 + 6(4) - 4^2 = 21 + 24 - 16 = 29 \).

в) Граница 3: \( y = x + 1 \), \( -1 ≤ x ≤ 3 \)

Подставим \( y = x + 1 \) в функцию:

\( z = x^2 + 2x(x+1) - (x+1)^2 + 4x \)

\( z = x^2 + 2x^2 + 2x - (x^2 + 2x + 1) + 4x \)

\( z = 3x^2 + 2x - x^2 - 2x - 1 + 4x \)

\( z = 2x^2 + 4x - 1 \). Найдём производную по \( x \): \( z' = 4x + 4 \).

Приравняем к нулю: \( 4x + 4 = 0
⇒ x = -1 \). Эта точка является одной из вершин \( (-1, 0) \).

Вычислим значения на концах отрезка:

При \( x = -1 \) (точка \( (-1, 0) \)): \( z = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3 \).

При \( x = 3 \) (точка \( (3, 4) \)): \( z = 2(3)^2 + 4(3) - 1 = 2(9) + 12 - 1 = 18 + 12 - 1 = 29 \).

3. Сравнение значений:

Значения функции в вершинах и критических точках на границах:

• \( (-1, 0) \): \( z = -3 \)
• \( (3, 0) \): \( z = 21 \)
• \( (3, 4) \): \( z = 29 \)
• На границе \( x=3 \) при \( y=3 \): \( z = 30 \)

Максимальное значение равно 30, минимальное значение равно -3.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 30, наименьшее значение равно -3.