З Задание 3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной a выражение (a-6)/(a^2-4) + 2/(a^2-2a) : (4a-8)/(a^2+2a) принимает одно и то же значение. В ответе запишите это значение.

Решение:

Для начала упростим выражение в скобках:

\( \frac{a-6}{a^2-4} + \frac{2}{a^2-2a} = \frac{a-6}{(a-2)(a+2)} + \frac{2}{a(a-2)} \)

Приведём к общему знаменателю \( a(a-2)(a+2) \):

\( = \frac{(a-6)a}{a(a-2)(a+2)} + \frac{2(a+2)}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2-6a+2a+4}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2-4a+4}{a(a-2)(a+2)} = \frac{(a-2)^2}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a-2}{a(a+2)} \)

Теперь выполним деление:

\( \frac{a-2}{a(a+2)} : \frac{4a-8}{a^2+2a} = \frac{a-2}{a(a+2)} : \frac{4(a-2)}{a(a+2)} \)

При делении дробей вторую дробь переворачиваем и умножаем:

\( = \frac{a-2}{a(a+2)} \times \frac{a(a+2)}{4(a-2)} \)

Сокращаем одинаковые множители:

\( = \frac{\cancel{(a-2)}}{\cancel{a}\cancel{(a+2)}}} \times \frac{\cancel{a}\cancel{(a+2)}}}{4\cancel{(a-2)}}} = \frac{1}{4} \)

Это значение является постоянным и не зависит от переменной \( a \) (при условии, что \( a \) не равно 0, 2, -2).

Ответ: 1/4