ZA : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. 61. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 28°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ 57. Углы треугольника АВС относятся так: Биссектриса ВМ угла АВС равна 14. Найдите длину отрезка МС. 50. Между сторонами угла АОВ, равного 150°, проведены лучи ОС и ОМ так, что угол АОС на 26° меньше угла ВОС, а ОМ – биссектриса угла ВОС. Найдите величину угла СОМ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 14

Рассмотрим решение задачи 61:

• Биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC, следовательно, треугольник ABC – равнобедренный с основанием AB.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Пусть ∠BAC = ∠BCA = x, тогда x + x + 28° = 180°.
• Решаем уравнение: 2x = 180° - 28° = 152°.
• x = 152° / 2 = 76°.
• Таким образом, ∠BAC = 76°.

Рассмотрим решение задачи 57:

• Углы треугольника ABC относятся как 1:2:3, следовательно, ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, то есть x + 2x + 3x = 180°.
• 6x = 180°, значит, x = 30°.
• ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°.
• Треугольник ABC – прямоугольный.
• Биссектриса BM делит угол B пополам, следовательно, ∠ABM = ∠CBM = 30°.
• Рассмотрим треугольник ABM: ∠ABM = ∠A = 30°, следовательно, треугольник ABM – равнобедренный, AB = BM = 14.
• Так как BM – биссектриса, то по свойству биссектрисы AB/BC = AM/MC.
• В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, следовательно, AB = 1/2 BC, BC = 2AB = 28.
• Тогда AM/MC = 14/28 = 1/2, AM = 1/2 MC.
• AC = AM + MC = 1/2 MC + MC = 3/2 MC.
• По теореме Пифагора AC^2 = BC^2 - AB^2 = 28^2 - 14^2 = 784 - 196 = 588.
• AC = √588 = 14√3.
• 3/2 MC = 14√3, MC = (2/3) * 14√3 = (28√3)/3.

Рассмотрим решение задачи 50:

• ∠AOB = 150°.
• ∠AOC на 26° меньше ∠BOC, то есть ∠AOC = ∠BOC - 26°.
• OM – биссектриса угла BOC, то есть ∠COM = ∠BOM = 1/2 ∠BOC.
• ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 150°.
• ∠BOC - 26° + ∠BOC = 150°.
• 2∠BOC = 176°.
• ∠BOC = 88°.
• ∠COM = 1/2 ∠BOC = 1/2 * 88° = 44°.

Ответ на задачу 61: 76°

Ответ на задачу 57: (28√3)/3

Ответ на задачу 50: 44°