За 3 часа движения по течению реки и за 5 часов движения по озеру катер прошёл 182 км. За 5 часов движения против течения реки он проходит на 56 км больше, чем за 2 часа движения по озеру. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение:

Обозначим скорость катера в стоячей воде как \( x \) км/ч, а скорость течения реки как \( y \) км/ч.

1. Скорость катера по течению: \( x + y \) км/ч.
2. Скорость катера против течения: \( x - y \) км/ч.
3. Расстояние, пройденное по течению за 3 часа и по озеру за 5 часов: \( 3(x + y) + 5x = 182 \).
4. Расстояние, пройденное против течения за 5 часов: \( 5(x - y) \) км.
5. Расстояние, пройденное по озеру за 2 часа: \( 2x \) км.
6. По условию, за 5 часов против течения катер проходит на 56 км больше, чем за 2 часа по озеру: \( 5(x - y) = 2x + 56 \).

Теперь составим систему уравнений:

1. \( 3(x + y) + 5x = 182 \)
2. \( 5(x - y) = 2x + 56 \)

Упростим уравнения:

1. \( 3x + 3y + 5x = 182 \rightarrow 8x + 3y = 182 \)
2. \( 5x - 5y = 2x + 56 \rightarrow 3x - 5y = 56 \)

Решим систему методом подстановки или сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 3, чтобы избавиться от \( y \):

1. \( (8x + 3y) \times 5 = 182 \times 5 \rightarrow 40x + 15y = 910 \)
2. \( (3x - 5y) \times 3 = 56 \times 3 \rightarrow 9x - 15y = 168 \)

Сложим полученные уравнения:

\( (40x + 15y) + (9x - 15y) = 910 + 168 \)

\( 49x = 1078 \)

\( x = \frac{1078}{49} = 22 \) км/ч

Теперь подставим значение \( x \) в одно из упрощенных уравнений, например, \( 3x - 5y = 56 \):

\( 3(22) - 5y = 56 \)

\( 66 - 5y = 56 \)

\( -5y = 56 - 66 \)

\( -5y = -10 \)

\( y = 2 \) км/ч

Проверка:

Скорость по течению: \( 22 + 2 = 24 \) км/ч. За 3 часа: \( 24 \times 3 = 72 \) км.

Скорость по озеру: \( 22 \) км/ч. За 5 часов: \( 22 \times 5 = 110 \) км.

Всего: \( 72 + 110 = 182 \) км. (Первое условие выполнено)

Скорость против течения: \( 22 - 2 = 20 \) км/ч. За 5 часов: \( 20 \times 5 = 100 \) км.

Скорость по озеру за 2 часа: \( 22 \times 2 = 44 \) км.

Разница: \( 100 - 44 = 56 \) км. (Второе условие выполнено)

Ответ: Скорость катера в стоячей воде 22 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч.