7. За одно и то же время первый математический маятник совершил 40 колебаний, а второй 60. Определите отношение длины первого маятника к длине второго.

Для решения этой задачи используется формула периода математического маятника: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$, где T - период, L - длина маятника, g - ускорение свободного падения. Периоды первого и второго маятников относятся как $$T_1 = \frac{t}{40}$$ и $$T_2 = \frac{t}{60}$$, где t - общее время. Тогда $$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{t}{40}}{\frac{t}{60}} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$$. Из формулы периода $$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$ получаем, что $$T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$$, откуда $$L = \frac{gT^2}{4\pi^2}$$. Так как $$\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{2}$$, то $$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{9}{4}$$. Значит, $$\frac{L_1}{L_2} = \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{9}{4}$$. **Ответ:** Отношение длины первого маятника к длине второго равно 9/4 или 2,25.