8. За одно и то же время первый математический маятник совершил 40 колебаний а второй 60. Определите отношение длины первого маятника к длине второго.

Для решения задачи воспользуемся формулой периода колебаний математического маятника:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

где:

• T - период колебаний,
• L - длина маятника,
• g - ускорение свободного падения.

По условию задачи, время колебаний одинаковое для обоих маятников. Обозначим время как t. Тогда период колебаний первого маятника:

$$T_1 = \frac{t}{40}$$

а период колебаний второго маятника:

$$T_2 = \frac{t}{60}$$

Выразим длины маятников через периоды:

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}}$$ $$L_1 = \frac{gT_1^2}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2} \cdot \left(\frac{t}{40}\right)^2$$ $$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}}$$ $$L_2 = \frac{gT_2^2}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2} \cdot \left(\frac{t}{60}\right)^2$$

Найдем отношение длины первого маятника к длине второго:

$$\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{g}{4\pi^2} \cdot \left(\frac{t}{40}\right)^2}{\frac{g}{4\pi^2} \cdot \left(\frac{t}{60}\right)^2} = \frac{\left(\frac{1}{40}\right)^2}{\left(\frac{1}{60}\right)^2} = \frac{\frac{1}{1600}}{\frac{1}{3600}} = \frac{3600}{1600} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4} = 2.25$$

Ответ: 2.25