8. За одно и то же время первый математический маятник совершил 40 колебаний, а второй 60. Определите отношение длины первого маятника к длине второго.

Для решения задачи используем формулу периода колебаний математического маятника:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$, где

• T - период колебаний,
• l - длина маятника,
• g - ускорение свободного падения.

Так как время колебаний одинаково, можем записать:

$$t = n_1 T_1 = n_2 T_2$$, где

• $$n_1$$ - число колебаний первого маятника,
• $$n_2$$ - число колебаний второго маятника,
• $$T_1$$ - период колебаний первого маятника,
• $$T_2$$ - период колебаний второго маятника.

Выразим отношение периодов:

$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$$

Теперь выразим периоды через длины маятников:

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$$ $$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$$

Подставим в отношение:

$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$$

Получаем:

$$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{3}{2}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$$

Ответ: 2.25