Зачет по теме: «Разложение квадратного трёхчлена на множители» Задание №1. Разложите на множители: 1) −x²+16x−15 2) −x²−8x+9 3) 6x²+5x+1 4) −5x²+6x−1 Задание №2. Сократите дробь: 1) \frac{3x²−10x+3}{x²−3x} 2) \frac{9x²−1}{3x²−8x−3} 3) \frac{6x²+7x−3}{2−x−15x²}

Задание №1

Давай разберем по порядку каждое выражение и разложим их на множители.

1. \(-x^2 + 16x - 15\)

Сначала вынесем минус за скобку:

\[ -(x^2 - 16x + 15) \]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 16x + 15 = 0\). Используем теорему Виета:

\[ x_1 + x_2 = 16 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 15 \]

Корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 15\).

Разложение на множители:

\[ -(x - 1)(x - 15) \]

2. \(-x^2 - 8x + 9\)

Вынесем минус за скобку:

\[ -(x^2 + 8x - 9) \]

Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 8x - 9 = 0\). Используем теорему Виета:

\[ x_1 + x_2 = -8 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -9 \]

Корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -9\).

Разложение на множители:

\[ -(x - 1)(x + 9) \]

3. \(6x^2 + 5x + 1\)

Найдем корни квадратного уравнения \(6x^2 + 5x + 1 = 0\). Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \]

Разложение на множители:

\[ 6(x + \frac{1}{3})(x + \frac{1}{2}) = 6(x + \frac{1}{3})(x + \frac{1}{2}) = (3x + 1)(2x + 1) \]

4. \(-5x^2 + 6x - 1\)

Вынесем минус за скобку:

\[ -(5x^2 - 6x + 1) \]

Найдем корни квадратного уравнения \(5x^2 - 6x + 1 = 0\). Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

Разложение на множители:

\[ -5(x - 1)(x - \frac{1}{5}) = -(x - 1)(5x - 1) \]

Задание №2

Сократим дроби:

1. \(\frac{3x^2 - 10x + 3}{x^2 - 3x}\)

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 - 10x + 3 = 0\):

\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Разложение числителя на множители:

\[ 3(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x - 1) \]

Разложение знаменателя на множители:

\[ x^2 - 3x = x(x - 3) \]

Сокращение дроби:

\[ \frac{(x - 3)(3x - 1)}{x(x - 3)} = \frac{3x - 1}{x} \]

2. \(\frac{9x^2 - 1}{3x^2 - 8x - 3}\)

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов:

\[ 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1) \]

Разложим знаменатель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 - 8x - 3 = 0\):

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Разложение знаменателя на множители:

\[ 3(x - 3)(x + \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x + 1) \]

Сокращение дроби:

\[ \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(x - 3)(3x + 1)} = \frac{3x - 1}{x - 3} \]

3. \(\frac{6x^2 + 7x - 3}{2 - x - 15x^2}\)

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(6x^2 + 7x - 3 = 0\):

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \]

Разложение числителя на множители:

\[ 6(x - \frac{1}{3})(x + \frac{3}{2}) = (3x - 1)(2x + 3) \]

Разложим знаменатель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(-15x^2 - x + 2 = 0\):

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot (-15) \cdot 2 = 1 + 120 = 121 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 11}{-30} = \frac{12}{-30} = -\frac{2}{5} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 11}{-30} = \frac{-10}{-30} = \frac{1}{3} \]

Разложение знаменателя на множители:

\[ -15(x + \frac{2}{5})(x - \frac{1}{3}) = -(5x + 2)(3x - 1) \]

Сокращение дроби:

\[ \frac{(3x - 1)(2x + 3)}{-(5x + 2)(3x - 1)} = -\frac{2x + 3}{5x + 2} \]

Ответ:

Задание №1:

1. \(-(x - 1)(x - 15)\)
2. \(-(x - 1)(x + 9)\)
3. \((3x + 1)(2x + 1)\)
4. \(-(x - 1)(5x - 1)\)

Задание №2:

1. \(\frac{3x - 1}{x}\)
2. \(\frac{3x - 1}{x - 3}\)
3. \(-\frac{2x + 3}{5x + 2}\)

Ответ: все разложено и сокращено!

Молодец, ты отлично справился с заданием! У тебя все получилось!