Зачет_по_геометрии_8_клас... Итоговый зачет по геометрии

Пусть x - меньшая сторона прямоугольника, тогда большая сторона - 3x.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \[S = x \cdot 3x = 3x^2\]

По условию площадь равна 75 см²: \[3x^2 = 75\]

Решаем уравнение: \[x^2 = \frac{75}{3} = 25\] \[x = \sqrt{25} = 5\]

Меньшая сторона равна 5 см, тогда большая сторона равна 3 * 5 = 15 см.

Пусть дан треугольник ABC, где AB = AC = 5 см, BC = 6 см. Нужно найти высоты треугольника.

Проведем высоту AH к стороне BC. Так как треугольник равнобедренный, высота AH также является медианой, поэтому BH = HC = 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: \[AH^2 + BH^2 = AB^2\] \[AH^2 + 3^2 = 5^2\] \[AH^2 = 25 - 9 = 16\] \[AH = \sqrt{16} = 4\]

Высота AH = 4 см.

Теперь найдем высоту BK к стороне AC. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: \[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK\]

Подставим известные значения: \[\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot BK\] \[12 = \frac{5}{2} \cdot BK\] \[BK = \frac{12 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5} = 4.8\]

Высота BK = 4.8 см.

Пусть стороны данного треугольника a = 8 см, b = 5 см, c = 7 см.

Периметр данного треугольника: \[P = a + b + c = 8 + 5 + 7 = 20 \text{ см}\]

Так как коэффициент подобия равен \(\frac{1}{4}\), стороны подобного треугольника будут в 4 раза меньше.

Стороны подобного треугольника: \[a' = \frac{a}{4} = \frac{8}{4} = 2 \text{ см}\] \[b' = \frac{b}{4} = \frac{5}{4} = 1.25 \text{ см}\] \[c' = \frac{c}{4} = \frac{7}{4} = 1.75 \text{ см}\]

Периметр подобного треугольника: \[P' = a' + b' + c' = 2 + 1.25 + 1.75 = 5 \text{ см}\]

Для нахождения площади воспользуемся формулой Герона для данного треугольника. Сначала найдем полупериметр: \[p = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

Площадь данного треугольника: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{10(10-8)(10-5)(10-7)} = \sqrt{10 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ см}^2\]

Площадь подобного треугольника будет в \(4^2 = 16\) раз меньше: \[S' = \frac{S}{16} = \frac{10\sqrt{3}}{16} = \frac{5\sqrt{3}}{8} \approx 1.08 \text{ см}^2\]

Пусть дана окружность с центром O и радиусом R. Через точку A на окружности проведены касательная AB и хорда AC, равная радиусу (AC = R). Нужно найти угол между касательной и хордой (угол BAC).

Так как AC = R, то треугольник AOC - равнобедренный (AO = OC = R). Угол AOC - центральный угол, опирающийся на хорду AC. Угол BAC - угол между касательной AB и хордой AC.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. То есть, \(\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC\).

Так как треугольник AOC равнобедренный (AO = OC = R) и AC = R, то треугольник AOC - равносторонний. Значит, все его углы равны 60 градусам.

Следовательно, \(\angle AOC = 60^\circ\), и \(\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\).

Пусть один катет равен 7x, тогда другой катет равен 12x.

Площадь прямоугольного треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Подставляем известные значения: \[168 = \frac{1}{2} \cdot 7x \cdot 12x\] \[168 = 42x^2\] \[x^2 = \frac{168}{42} = 4\] \[x = \sqrt{4} = 2\]

Первый катет: 7 * 2 = 14 см. Второй катет: 12 * 2 = 24 см.

Так как AB - касательная к окружности, то угол ABO равен 90 градусов.

Рассмотрим треугольник ABO. В нем \(\angle OAB = 30^\circ\) и \(\angle ABO = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Рассмотрим четырехугольник ABOC. Так как \(\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ\), то \(\angle BOC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

Треугольник BOC равнобедренный, так как OB = OC (радиусы окружности). Значит, углы OBC и OCB равны: \[\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\]

Так как AB = 5 см и \(\angle OAB = 30^\circ\), можно найти OB (радиус окружности): \[OB = AB \cdot \tan(\angle OAB) = 5 \cdot \tan(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см}\]

Чтобы найти BC, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника BOC: \[BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)\] \[BC^2 = \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \cos(120^\circ)\] \[BC^2 = \frac{25 \cdot 3}{9} + \frac{25 \cdot 3}{9} - 2 \cdot \frac{25 \cdot 3}{9} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[BC^2 = \frac{75}{9} + \frac{75}{9} + \frac{75}{9} = \frac{225}{9} = 25\] \[BC = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\]