Задача 5. [1 балл) Сумма двух чисел равна 21, а сумма их квадратов равна 245. Найдите меньшее из этих чисел. Решение:

Пусть x и y – данные числа, причём x < y. Тогда, согласно условию задачи, имеем систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 21 \\ x^2 + y^2 = 245 \end{cases} $$

Выразим y через x из первого уравнения: y = 21 − x. Подставим это выражение во второе уравнение:

$$x^2 + (21 - x)^2 = 245$$

$$x^2 + 441 - 42x + x^2 = 245$$

$$2x^2 - 42x + 196 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x^2 - 21x + 98 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 98 = 441 - 392 = 49$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{21 + \sqrt{49}}{2} = \frac{21 + 7}{2} = 14$$

$$x_2 = \frac{21 - \sqrt{49}}{2} = \frac{21 - 7}{2} = 7$$

Так как x < y, то x = 7, y = 14.

Меньшее из этих чисел равно 7.

Ответ: 7