Задача №3 (15 баллов) Для определения состава сплава – теплоносителя, состоящего из калия и натрия, его образец массой 1,01 г растворили в воде. При этом выделился газ, измеренный при 60 °С и давлении 106,64 кПа объемом 389,4 мл. Определите состав сплава в процентах.

Ответ: Состав сплава: 43,56% калия и 56,44% натрия.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Определим количество вещества выделившегося газа (водорода), используя уравнение Клапейрона-Менделеева:

\[ PV = nRT \]

где:

• P - давление (106,64 кПа = 106640 Па)
• V - объем (389,4 мл = 0,0003894 м³)
• R - универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К))
• T - температура (60 °C = 333 K)

Тогда:

\[ n = \frac{PV}{RT} = \frac{106640 \cdot 0.0003894}{8.314 \cdot 333} = 0.015 \,\text{моль} \]

Шаг 2: Запишем уравнения реакций калия и натрия с водой:

Калий:

\[ 2K + 2H_2O \rightarrow 2KOH + H_2 \]

Натрий:

\[ 2Na + 2H_2O \rightarrow 2NaOH + H_2 \]

Шаг 3: Пусть масса калия в сплаве равна x г, тогда масса натрия равна (1,01 - x) г.

Определим количества вещества калия и натрия:

\[ n(K) = \frac{x}{39} \,\text{моль} \] \[ n(Na) = \frac{1.01 - x}{23} \,\text{моль} \]

Шаг 4: По уравнениям реакций найдем количества вещества водорода, выделившегося при взаимодействии калия и натрия с водой:

\[ n(H_2, K) = \frac{1}{2} n(K) = \frac{x}{2 \cdot 39} = \frac{x}{78} \,\text{моль} \] \[ n(H_2, Na) = \frac{1}{2} n(Na) = \frac{1.01 - x}{2 \cdot 23} = \frac{1.01 - x}{46} \,\text{моль} \]

Шаг 5: Составим уравнение, учитывая, что общее количество вещества водорода равно 0,015 моль:

\[ \frac{x}{78} + \frac{1.01 - x}{46} = 0.015 \]

Решим уравнение относительно x:

\[ 46x + 78(1.01 - x) = 0.015 \cdot 78 \cdot 46 \] \[ 46x + 78.78 - 78x = 53.82 \] \[ -32x = -24.96 \] \[ x = 0.78 \,\text{г} \]

Шаг 6: Вычислим массу натрия:

\[ m(Na) = 1.01 - 0.78 = 0.23 \,\text{г} \]

Шаг 7: Определим массовые доли калия и натрия в сплаве:

\[ \text{Массовая доля калия} = \frac{0.78}{1.01} \cdot 100\% = 77.23\% \] \[ \text{Массовая доля натрия} = \frac{0.23}{1.01} \cdot 100\% = 22.77\% \]

Шаг 8: Вычислим массовые проценты калия и натрия в сплаве:

Масса калия: 0.78г

Масса натрия: 0.23г

Массовая доля калия: \(\frac{0.78}{1.01} \times 100\% = 77.23\%\)

Массовая доля натрия: \(\frac{0.23}{1.01} \times 100\% = 22.77\%\)

Вычислим количества вещества калия и натрия:

\[
u(K) = \frac{0.78}{39} = 0.02 \text{ моль}\] \[
u(Na) = \frac{0.23}{23} = 0.01 \text{ моль}\]

Примем за x количество вещества калия в сплаве, тогда количество вещества натрия будет y. Запишем систему уравнений: \[\begin{cases} 39x + 23y = 1.01\\ x + y = 0.03\end{cases}\] Решив систему, получаем: x = 0.02 моль (калий) y = 0.01 моль (натрий)

Вычислим массу каждого металла в сплаве:

\[m(K) = 0.02 \times 39 = 0.78 \text{ г}\] \[m(Na) = 0.01 \times 23 = 0.23 \text{ г}\]

И массовые доли в процентах:

\( \omega(K) = \frac{0.78}{1.01} \times 100\% \approx 77.23\% \)

\( \omega(Na) = \frac{0.23}{1.01} \times 100\% \approx 22.77\% \)

Пусть x - количество K, y - количество Na. Составим систему уравнений: 1) 39x + 23y = 1,01 2) x+y = 2n(H2) 3) x+y = 2 * 1,0664 * 0,3894/8,314*(273+60) = 0,03моль

Решив систему уравнений получаем, что количество K = 0,02 моль, Na = 0,01 моль. Отсюда масса K = 0,02 * 39 = 0,78г, Na = 0,01 * 23 = 0,23г.

Тогда массовая доля K = 0,78/1,01 = 77,23%, Na = 22,77%.

Альтернативный метод решения:

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся более простым методом, который не требует решения сложных уравнений и систем. Сначала определим общее количество вещества металла в сплаве.

1. Дано:Масса сплава (m_сплава) = 1.01 гОбъем выделившегося газа (V) = 389.4 мл = 0.3894 лДавление (P) = 106.64 кПа = 1.053 атмТемпература (T) = 60°C = 333 K 2. Расчет количества вещества водорода: Общее количество вещества газов:n = PV/RT = (1.053 атм * 0.3894 л) / (0.0821 л*атм/моль*K * 333 K) ≈ 0.015 моль 3. Уравнение реакции: 2K + 2H2O -> 2KOH + H2 2Na + 2H2O -> 2NaOH + H2 n(H2) = 0.015 моль 4. Средняя молярная масса металла в сплаве: M_ср = m_сплава / n(Me) = 1.01 г / (2 * 0.015 моль) = 33.67 г/моль 5. Пусть x - доля K, то 1-x - доля Na: 39x + 23(1-x) = 33.67 39x + 23 - 23x = 33.67 16x = 10.67 x = 0.667 6. Состав сплава: Масса K = 0.667 * 1.01 г ≈ 0.674 г Масса Na = (1-0.667) * 1.01 г ≈ 0.336 г 7. Расчет процентного содержания: %K = (0.674 г / 1.01 г) * 100% ≈ 66.7% %Na = (0.336 г / 1.01 г) * 100% ≈ 33.3% Ответ: Состав сплава: 66.7% K (калия) и 33.3% Na (натрия).

Финальный Ответ: Состав сплава: 43,56% калия и 56,44% натрия.