Задача № 4. Основанием прямой призмы является ромб с углом 60°. Большая диагональ призмы равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Вычислите объём призмы.

Решение:

• Шаг 1: Найдем сторону ромба.

  Так как угол ромба равен 60°, то ромб состоит из двух равносторонних треугольников. Большая диагональ ромба равна стороне ромба, поэтому сторона ромба (a) равна 12 см.

• Шаг 2: Найдем меньшую диагональ ромба.

  Меньшая диагональ ромба (d) является высотой равностороннего треугольника со стороной a = 12 см. Используем формулу высоты равностороннего треугольника:

  \[d = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\ \text{ см}\]
• Шаг 3: Найдем площадь основания призмы (площадь ромба).

  Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

  \[S = \frac{1}{2} \cdot D \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\ \text{ см}^2\]
• Шаг 4: Найдем высоту призмы.

  Призма наклонена к плоскости основания под углом 45°. Это означает, что высота призмы (h) равна стороне основания (a), так как tg(45°) = 1:

  \[h = a = 12 \ \text{ см}\]
• Шаг 5: Вычислим объем призмы.

  Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

  \[V = S \cdot h = 36\sqrt{3} \cdot 12 = 432\sqrt{3}\ \text{ см}^3\]

Ответ: 432√3 см³