Задача 2 №21 в ЕГЭ Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа подъездов, число подъездов больше числа квартир на этаже, а число квартир на этаже больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 231 квартира?

Для решения задачи необходимо разложить число 231 на множители, чтобы выявить возможные варианты этажности, количества подъездов и квартир на этаже. Из условия известно, что число этажей больше числа подъездов, число подъездов больше числа квартир на этаже, а число квартир на этаже больше одного.

Разложим число 231 на простые множители: $$231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$$

Теперь рассмотрим варианты разбиения этих множителей на три числа, чтобы удовлетворить условиям задачи:

1. Количество квартир на этаже, количество подъездов и количество этажей.
2. Число этажей должно быть больше числа подъездов, а число подъездов должно быть больше числа квартир на этаже.
3. Число квартир на этаже должно быть больше одного.

Возможные варианты:

• 3, 7, 11

Проверим все возможные комбинации этих чисел:

1. 3 квартиры на этаже, 7 подъездов, 11 этажей. Этот вариант удовлетворяет условиям задачи (11 > 7 > 3 > 1).
2. 3 квартиры на этаже, 11 подъездов, 7 этажей. Этот вариант не удовлетворяет условиям задачи (7 < 11).
3. 7 квартир на этаже, 3 подъезда, 11 этажей. Этот вариант не удовлетворяет условиям задачи (3 < 7).
4. 7 квартир на этаже, 11 подъездов, 3 этажа. Этот вариант не удовлетворяет условиям задачи (3 < 11).
5. 11 квартир на этаже, 3 подъезда, 7 этажей. Этот вариант не удовлетворяет условиям задачи (3 < 11).
6. 11 квартир на этаже, 7 подъездов, 3 этажа. Этот вариант не удовлетворяет условиям задачи (3 < 7).

Таким образом, только один вариант удовлетворяет условиям задачи: 3 квартиры на этаже, 7 подъездов, 11 этажей.

Тогда количество этажей в доме равно 11.

Ответ: 11