Задача 2. а) Сколькими способами пятеро друзей могут выстроиться в шеренгу для фотографии? б) Сколькими способами из этих же пятерых друзей можно выбрать троих для участия в эстафете? Задача 3. а) Сколько диагоналей у семиугольника? б) Проверь свою формулу: сколько диагоналей у девятиугольника? (Если ты заметил закономерность в пункте «а», запиши её словами и примени к девятиугольнику.) Задача 4. Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?

Привет! Давай решим эти задачи по комбинаторике и геометрии вместе.

Задача 2

а) Сколькими способами пятеро друзей могут выстроиться в шеренгу для фотографии?

Это задача на перестановки. У нас есть 5 друзей, и мы хотим узнать, сколькими способами их можно упорядочить. Это можно вычислить как факториал числа 5 (5!).

Факториал числа 5:

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

Таким образом, пятеро друзей могут выстроиться в шеренгу 120 способами.

б) Сколькими способами из этих же пятерых друзей можно выбрать троих для участия в эстафете?

Это задача на сочетания, так как порядок выбора не важен. Нам нужно выбрать 3 друзей из 5. Используем формулу сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае n = 5 (всего друзей), k = 3 (сколько нужно выбрать).

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Таким образом, выбрать троих друзей для участия в эстафете можно 10 способами.

Задача 3

а) Сколько диагоналей у семиугольника?

Формула для расчета количества диагоналей в многоугольнике:

\[ D = \frac{n(n-3)}{2} \]

где n - количество сторон многоугольника. В нашем случае n = 7 (семиугольник).

\[ D = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14 \]

Таким образом, у семиугольника 14 диагоналей.

б) Проверь свою формулу: сколько диагоналей у девятиугольника? (Если ты заметил закономерность в пункте «а», запиши её словами и примени к девятиугольнику.)

Закономерность: количество диагоналей в многоугольнике зависит от количества его сторон. Формула, как указано выше:

\[ D = \frac{n(n-3)}{2} \]

Теперь для девятиугольника (n = 9):

\[ D = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = 27 \]

Таким образом, у девятиугольника 27 диагоналей.

Задача 4

Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?

У нас есть 4 супружеские пары, то есть 8 человек. Нам нужно выбрать 3 человек так, чтобы ни одна супружеская пара не была представлена в комиссии.

Сначала выберем 3 пары из 4, из которых будут выбраны члены комиссии. Это можно сделать C(4, 3) способами:

\[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4 \]

Теперь из каждой выбранной пары нужно выбрать одного человека. Так как у нас 3 пары, и из каждой пары можно выбрать одного из двух супругов, то количество способов выбора из каждой пары равно 2.

Общее количество способов составить комиссию:

\[ 4 \times 2 \times 2 \times 2 = 4 \times 8 = 32 \]

Таким образом, комиссию можно составить 32 способами.