Задача 3: Чему равно расстояние от точки B до прямой MK, если угол BMK равен 30°, BO=2?

Расстояние от точки B до прямой MK - это перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую MK. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой MK как T. Тогда BT - искомое расстояние. O - центр окружности, BO - радиус, равный 2. Рассмотрим треугольник BOK. Поскольку BO - радиус, и OB = 2, OK также радиус и OK = 2. Треугольник BOK - равнобедренный. Угол BMK равен 30°. Значит, центральный угол BOK равен 2 * 30° = 60°. Так как треугольник BOK равнобедренный и угол BOK равен 60°, то этот треугольник равносторонний, и BK = BO = OK = 2. Теперь найдем расстояние от B до MK. В равнобедренном треугольнике BOK высота, опущенная из B на OK, является и медианой, и биссектрисой. Обозначим точку пересечения высоты с MK как T. Тогда BT - искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник BTO. Угол BTO равен 90°, угол BOK равен 60°, значит, угол OBK равен (180 - 60) / 2 = 60°. Поэтому BT можно найти через синус: $$\sin(30^\circ) = \frac{BT}{BO}$$, так как в равностороннем треугольнике BOK угол OBK = 60, и если опустить высоту BT, то угол TBO = 30. $$\frac{BT}{2} = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$BT = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ Ответ: Расстояние от точки B до прямой MK равно $$\sqrt{3}$$.