Задача 4.100. Через вершину А квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр АМ, равный 10. Угол между плоскостями АВС и МВС равен 45°. Найдите площадь треугольника МВС.

Рассмотрим решение задачи:

1. Пусть сторона квадрата равна а. Так как АМ перпендикулярна плоскости квадрата, то АМ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности АМ перпендикулярна АВ.
2. Угол между плоскостями АВС и МВС равен углу между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей ВС. Проведем перпендикуляр АК к ВС в плоскости АВС. Тогда МК также перпендикулярна ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, угол между плоскостями АВС и МВС - это угол МКА, который равен 45°.
3. В прямоугольном треугольнике АМК угол МКА = 45°, следовательно, треугольник АМК равнобедренный, и АК = АМ = 10. Так как АК - высота квадрата, то сторона квадрата а = 10.
4. В треугольнике МВС высота МК является гипотенузой прямоугольного треугольника АМК, поэтому $$МК = \sqrt{AM^2 + AK^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$.
5. Площадь треугольника МВС равна половине произведения основания на высоту: $$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{2} = 50\sqrt{2}$$.

Ответ: $$50\sqrt{2}$$