Задача 14. Дана правильная треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, $$MK \parallel AA_1$$, $$AA_1 = 6$$, $$AB = 3\sqrt{3}$$. Найдите длину отрезка $$MC$$.

Решение задачи:

1. Основание призмы – правильный треугольник, следовательно, $$AC = AB = 3\sqrt{3}$$.
2. Т.к. призма правильная, то $$AA_1 \perp (ABC)$$, следовательно, $$AA_1 \perp AC$$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C$$: $$AC = 3\sqrt{3}$$, $$AA_1 = 6$$. По теореме Пифагора, $$A_1C = \sqrt{AC^2 + AA_1^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{27 + 36} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$$.
4. $$M$$ – середина $$AA_1$$, следовательно, $$AM = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMC$$: $$AC = 3\sqrt{3}$$, $$AM = 3$$. По теореме Пифагора, $$MC = \sqrt{AC^2 + AM^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$$.

Ответ: 6.