Задача 1. Дана система линейных уравнений: Решите ее: 1.1. Методом Крамера; 1.2. Методом Гаусса.

Решение системы линейных уравнений методами Крамера и Гаусса.

1.1. Решение методом Крамера:

Задана система уравнений:

$$ \begin{cases} -x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ 3x_1 - 4x_2 + 3x_3 = -1 \\ -2x_2 - 3x_3 = -8 \end{cases} $$

Вычислим определитель основной матрицы системы:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 3 & -4 & 3 \\ 0 & -2 & -3 \end{vmatrix} = (-1) \cdot ((-4) \cdot (-3) - 3 \cdot (-2)) - 1 \cdot (3 \cdot (-3) - 3 \cdot 0) + (-1) \cdot (3 \cdot (-2) - (-4) \cdot 0) = (-1) \cdot (12 + 6) - 1 \cdot (-9) + (-1) \cdot (-6) = -18 + 9 + 6 = -3 $$

Так как определитель не равен нулю, система имеет единственное решение.

Вычислим определители для каждого неизвестного:

$$ \Delta_{x_1} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & -4 & 3 \\ -8 & -2 & -3 \end{vmatrix} = 0 \cdot ((-4) \cdot (-3) - 3 \cdot (-2)) - 1 \cdot ((-1) \cdot (-3) - 3 \cdot (-8)) + (-1) \cdot ((-1) \cdot (-2) - (-4) \cdot (-8)) = 0 - (3 + 24) - (2 - 32) = -27 + 30 = 3 $$ $$ \Delta_{x_2} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 3 \\ 0 & -8 & -3 \end{vmatrix} = (-1) \cdot ((-1) \cdot (-3) - 3 \cdot (-8)) - 0 + (-1) \cdot (3 \cdot (-8) - (-1) \cdot 0) = (-1) \cdot (3 + 24) - (-24) = -27 + 24 = -3 $$ $$ \Delta_{x_3} = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 3 & -4 & -1 \\ 0 & -2 & -8 \end{vmatrix} = (-1) \cdot ((-4) \cdot (-8) - (-1) \cdot (-2)) - 1 \cdot (3 \cdot (-8) - (-1) \cdot 0) + 0 = (-1) \cdot (32 - 2) - 1 \cdot (-24) = -30 + 24 = -6 $$

Найдем значения переменных:

$$ x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta} = \frac{3}{-3} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta} = \frac{-3}{-3} = 1 $$ $$ x_3 = \frac{\Delta_{x_3}}{\Delta} = \frac{-6}{-3} = 2 $$

1.2. Решение методом Гаусса:

Запишем расширенную матрицу системы:

$$ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 3 & -4 & 3 & | & -1 \\ 0 & -2 & -3 & | & -8 \end{bmatrix} $$

Умножим первую строку на 3 и прибавим ко второй строке:

$$ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & -1 & 0 & | & -1 \\ 0 & -2 & -3 & | & -8 \end{bmatrix} $$

Умножим вторую строку на -1:

$$ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & -2 & -3 & | & -8 \end{bmatrix} $$

Умножим вторую строку на 2 и прибавим к третьей строке:

$$ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & -3 & | & -6 \end{bmatrix} $$

Разделим третью строку на -3:

$$ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} $$

Из второй строки имеем: $$x_2 = 1$$

Из третьей строки имеем: $$x_3 = 2$$

Подставим значения во первое уравнение: $$-x_1 + 1 - 2 = 0$$, откуда $$-x_1 = 1$$ и $$x_1 = -1$$

Ответ: $$x_1 = -1, x_2 = 1, x_3 = 2$$