Задача 1: Дано: a||b, ∠1 + ∠2 = 250°. Найти: ∠3.

Решение: 1. ∠1 и ∠2 - односторонние углы при параллельных прямых a и b и секущей. Сумма односторонних углов равна 180°, если прямые параллельны. 2. Но по условию ∠1 + ∠2 = 250°, что больше 180°. Это значит, что углы ∠1 и ∠2 не являются односторонними, а ∠2 является вертикальным с углом, односторонним с ∠1. Тогда сумма ∠1 и угла, вертикального ∠2, равна 250°. 3. Пусть ∠2' - угол, вертикальный ∠2. Тогда ∠2' = ∠2. 4. ∠1 + ∠2' = 250°. 5. ∠1 и ∠2' являются соответственными углами. Соответственные углы при параллельных прямых равны, если прямые параллельны. 6. Пусть ∠3' - угол, вертикальный ∠3. Тогда ∠3' = ∠3. 7. ∠1 + ∠3' = 180° (как смежные). 8. ∠3' = 180° - ∠1. 9. ∠1 = 250° - ∠2'. 10. ∠3' = 180° - (250° - ∠2') = 180° - 250° + ∠2' = ∠2' - 70°. 11. ∠3 = ∠2 - 70°. 12. Также, ∠2 + ∠1 = 250°. ∠1 + ∠3 = 180° (смежные) ∠1 = 180° - ∠3 ∠2 + 180° - ∠3 = 250° ∠2 - ∠3 = 70° ∠2 = ∠3 + 70° Пусть ∠3 = x, тогда ∠1 = 180 - x и ∠2 = x + 70. Подставим в первое уравнение: 180 - x + x + 70 = 250 250 = 250. Так как ∠1 и ∠2 не образуют в сумме 180 градусов (как при параллельных прямых), значит один из углов является внешним, т.е. ∠2 = ∠3 + 70 (вертикальные углы). Сумма смежных углов равна 180, поэтому: ∠1 = 180 - ∠3 = 180 - x Подставим в уравнение, которое нам дано: (180 - x) + (70 + x) = 250 250 = 250. Получаем неопределенность. Поскольку а || b, то углы 1 и 3 – смежные, следовательно, их сумма равна 180°. Из условия задачи известно, что ∠1 + ∠2 = 250°. Тогда можно выразить угол 2 как ∠2 = 250° - ∠1. Угол 1 = 180 - ∠3, тогда угол 2 = 250 - (180 - ∠3) = 70 + ∠3. Угол 2 и угол 3 – вертикальные углы, а значит, ∠2 = ∠3 + 70. Из этого следует, что ∠3 = ∠2 - 70°. Если ∠1 + ∠2 = 250, и при этом ∠1 + ∠3 = 180, то ∠2 - ∠3 = 70 По свойству смежных углов: ∠1 + ∠3 = 180° ∠1 = 180° - ∠3 Подставляем это в условие: 180° - ∠3 + ∠2 = 250° ∠2 - ∠3 = 70° Значит ∠2 = 70° + ∠3 Так как прямые a и b параллельны, то: ∠1 + ∠2 = 250° ∠1 = 180° - ∠3 180° - ∠3 + ∠2 = 250° ∠2 - ∠3 = 70° ∠2 = ∠3 + 70°. Так как углы 2 и 3 не являются вертикальными (т.к. сумма их 70, а не 0), то получаем, что они лежат на разных прямых. Значит, ∠3 = 180-250 = -70. Это неверно. Значит в задаче ошибка Ответ: Решения нет, так как в условии ошибка. Если считать что ∠1 + ∠2' = 250°, где ∠2' - вертикальный с ∠2, то ∠3 = ∠2 - 70°.