Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A (-5; 0; 1) B (-4; -2; 3) C (6; 2; 11) D (3; 4; 9) Методами векторной алгебры выполните следующие задания: ← → 2.1. Записать координаты векторов АВ И АС и найти модули этих векторов; 2.2. Определить угол между векторами АВ И АС. 2.3. Найти площадь грани АВС. 2.4. Вычислить объем пирамиды ABCD.

2.1. Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) и их модули.

Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) находятся как разность координат точек B и A:

$$ \overrightarrow{AB} = (-4 - (-5); -2 - 0; 3 - 1) = (1; -2; 2) $$

Координаты вектора \(\overrightarrow{AC}\) находятся как разность координат точек C и A:

$$ \overrightarrow{AC} = (6 - (-5); 2 - 0; 11 - 1) = (11; 2; 10) $$

Найдем модули этих векторов:

$$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $$ $$ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{11^2 + 2^2 + 10^2} = \sqrt{121 + 4 + 100} = \sqrt{225} = 15 $$

2.2. Определим угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Используем формулу скалярного произведения:

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\theta) $$

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1 \cdot 11) + (-2 \cdot 2) + (2 \cdot 10) = 11 - 4 + 20 = 27 $$

Теперь найдем косинус угла \(\theta\):

$$ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{27}{3 \cdot 15} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} = 0.6 $$

Угол \(\theta\) равен:

$$ \theta = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ $$

2.3. Найдем площадь грани ABC.

Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| $$

Найдем векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):

$$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 11 & 2 & 10 \end{vmatrix} = \hat{i}((-2) \cdot 10 - 2 \cdot 2) - \hat{j}(1 \cdot 10 - 2 \cdot 11) + \hat{k}(1 \cdot 2 - (-2) \cdot 11) = \hat{i}(-20 - 4) - \hat{j}(10 - 22) + \hat{k}(2 + 22) = -24\hat{i} + 12\hat{j} + 24\hat{k} $$ $$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-24; 12; 24) $$

Найдем модуль векторного произведения:

$$ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-24)^2 + 12^2 + 24^2} = \sqrt{576 + 144 + 576} = \sqrt{1296} = 36 $$

Площадь грани ABC:

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 $$

2.4. Вычислим объем пирамиды ABCD.

Объем пирамиды ABCD равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\):

$$ V_{ABCD} = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}| $$

Найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AD}\):

$$ \overrightarrow{AD} = (3 - (-5); 4 - 0; 9 - 1) = (8; 4; 8) $$

Смешанное произведение векторов:

$$ (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = (-24 \cdot 8) + (12 \cdot 4) + (24 \cdot 8) = -192 + 48 + 192 = 48 $$

Объем пирамиды ABCD:

$$ V_{ABCD} = \frac{1}{6} |48| = \frac{1}{6} \cdot 48 = 8 $$

Ответ: 2.1. \(\overrightarrow{AB} = (1; -2; 2)\), \(\overrightarrow{AC} = (11; 2; 10)\), |\(\overrightarrow{AB}\)| = 3, |\(\overrightarrow{AC}\)| = 15; 2.2. \(\theta \approx 53.13^\circ\); 2.3. S_{ABC} = 18; 2.4. V_{ABCD} = 8