Задача 6. Докажите, что значение выражения \(\left(\frac{a^{2}}{4 b^{3}}+\frac{2}{a}\right) \cdot\left(\frac{a}{2 b^{2}}-\frac{1}{b}+\frac{2}{a}\right): \frac{(a-2 b)^{2}+8 a b}{4+\frac{2 a}{b}}\) положительно при всех допустимых значениях переменных.

Для доказательства того, что значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных, упростим его.

1. \(\frac{a^{2}}{4 b^{3}}+\frac{2}{a} = \frac{a^3 + 8b^3}{4ab^3} = \frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{4ab^3}\)
2. \(\frac{a}{2 b^{2}}-\frac{1}{b}+\frac{2}{a} = \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2}\)
3. \((a-2b)^2 + 8ab = a^2 - 4ab + 4b^2 + 8ab = a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2\)
4. \(4 + \frac{2a}{b} = \frac{4b+2a}{b} = \frac{2(a+2b)}{b}\)

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное выражение:

$$\frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{4ab^3} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2} : \frac{(a+2b)^2}{\frac{2(a+2b)}{b}} = \frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{4ab^3} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2} \cdot \frac{2(a+2b)}{b(a+2b)^2}$$ $$\frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)^2 \cdot 2(a+2b)}{4ab^3 \cdot 2ab^2 \cdot b(a+2b)^2} = \frac{2(a+2b)^2(a^2 - 2ab + 4b^2)^2}{8a^2b^6(a+2b)^2} = \frac{(a^2 - 2ab + 4b^2)^2}{4a^2b^6}$$

Заметим, что \((a^2 - 2ab + 4b^2)^2\) всегда положительно, так как это квадрат. Также \(a^2\) и \(b^6\) всегда положительны, так как это квадраты. Следовательно, всё выражение положительно при всех допустимых значениях переменных a и b (a ≠ 0, b ≠ 0).

Ответ: Значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных.