Задача 6. Докажите, что значение выражения \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$\left(\frac{a^2}{4b^3} + \frac{2}{a}\right) \cdot \left(\frac{a}{2b^2} - \frac{1}{b} + \frac{2}{a}\right) : \frac{(a-2b)^2+8ab}{4+\frac{2a}{b}}$$ \end{document} положительно при всех допустимых значениях переменных.

Решим задачу 6.

Для доказательства того, что значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных, упростим выражение и покажем, что оно всегда больше нуля.

Имеем выражение:

\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$\left(\frac{a^2}{4b^3} + \frac{2}{a}\right) \cdot \left(\frac{a}{2b^2} - \frac{1}{b} + \frac{2}{a}\right) : \frac{(a-2b)^2+8ab}{4+\frac{2a}{b}}$$ \end{document}

Сначала упростим выражение в первой скобке:

\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$\frac{a^2}{4b^3} + \frac{2}{a} = \frac{a^3 + 8b^3}{4ab^3} = \frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{4ab^3}$$ \end{document}

Упростим выражение во второй скобке:

\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$\frac{a}{2b^2} - \frac{1}{b} + \frac{2}{a} = \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2}$$ \end{document}

Упростим выражение в числителе дроби, на которую делим:

\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$(a-2b)^2 + 8ab = a^2 - 4ab + 4b^2 + 8ab = a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2$$ \end{document}

Упростим выражение в знаменателе дроби, на которую делим:

\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$4 + \frac{2a}{b} = \frac{4b + 2a}{b} = \frac{2(a+2b)}{b}$$ \end{document}

Теперь перепишем выражение с учетом упрощений:

\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$\frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{4ab^3} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2} : \frac{(a+2b)^2}{\frac{2(a+2b)}{b}} =$$ $$\frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{4ab^3} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2} \cdot \frac{2(a+2b)}{b(a+2b)^2} =$$ $$\frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)^2 \cdot 2(a+2b)}{4ab^3 \cdot 2ab^2 \cdot b(a+2b)^2} =$$ $$\frac{2(a+2b)^2(a^2 - 2ab + 4b^2)^2}{8a^2b^6(a+2b)^2} = \frac{(a^2 - 2ab + 4b^2)^2}{4a^2b^6}$$ \end{document}

Заметим, что \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$a^2 - 2ab + 4b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 3b^2 = (a-b)^2 + 3b^2$$ \end{document}

Так как \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$(a-b)^2 \ge 0$$ \end{document} и \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$b^2 > 0$$ \end{document} , то \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$(a-b)^2 + 3b^2 > 0$$ \end{document}

Значит \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$(a^2 - 2ab + 4b^2)^2 > 0$$ \end{document}

Также, \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$a^2 > 0$$ \end{document} и \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$b^6 > 0$$ \end{document}

Тогда \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$\frac{(a^2 - 2ab + 4b^2)^2}{4a^2b^6} > 0$$ \end{document}

Таким образом, значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных.

Ответ: Значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных.