Задача 6. Докажите, что значение выражения (a2 2 463 + a )⋅(a 12 262−+) b a : (a-2b)²+8ab 4+ 2a b положительно при всех допустимых значениях переменных.

Преобразуем данное выражение, чтобы доказать, что оно положительно при всех допустимых значениях переменных.

Выражение:

$$ \left(\frac{a^2}{4b^3} + \frac{2}{a}\right) \cdot \left(\frac{a}{2b^2} - \frac{1}{b} + \frac{2}{a}\right) : \frac{(a-2b)^2 + 8ab}{4 + \frac{2a}{b}} $$

Преобразуем первую скобку, приводя к общему знаменателю:

$$ \frac{a^2}{4b^3} + \frac{2}{a} = \frac{a^3 + 8b^3}{4ab^3} $$

Преобразуем вторую скобку, приводя к общему знаменателю:

$$ \frac{a}{2b^2} - \frac{1}{b} + \frac{2}{a} = \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2} $$

Преобразуем числитель дроби в делителе:

$$ (a-2b)^2 + 8ab = a^2 - 4ab + 4b^2 + 8ab = a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2 $$

Преобразуем знаменатель дроби в делителе:

$$ 4 + \frac{2a}{b} = \frac{4b + 2a}{b} = \frac{2(2b + a)}{b} $$

Теперь все выражение выглядит так:

$$ \frac{a^3 + 8b^3}{4ab^3} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2} : \frac{(a+2b)^2}{\frac{2(a+2b)}{b}} $$

Заменим деление умножением на перевернутую дробь:

$$ \frac{a^3 + 8b^3}{4ab^3} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2} \cdot \frac{\frac{2(a+2b)}{b}}{(a+2b)^2} $$

Разложим сумму кубов:

$$ a^3 + 8b^3 = (a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) $$

Подставим в выражение:

$$ \frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{4ab^3} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2} \cdot \frac{2(a+2b)}{b(a+2b)^2} $$

Сократим $$(a+2b)$$ и $$(a+2b)^2$$:

$$ \frac{(a^2 - 2ab + 4b^2)}{4ab^3} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{2ab^2} \cdot \frac{2}{b(a+2b)} $$

Упростим выражение:

$$ \frac{2(a^2 - 2ab + 4b^2)^2}{8a^2b^6(a+2b)} = \frac{(a^2 - 2ab + 4b^2)^2}{4a^2b^6(a+2b)} $$

Заметим, что $$a^2 - 2ab + 4b^2 = (a-b)^2 + 3b^2 > 0$$ при любых $$a$$ и $$b$$.

Выражение $$(a^2 - 2ab + 4b^2)^2$$ всегда положительно.

Также $$4a^2b^6$$ всегда положительно, если $$a
eq 0$$ и $$b
eq 0$$.

Чтобы все выражение было положительным, необходимо чтобы $$(a+2b) > 0$$.

Таким образом, при $$a > -2b$$, $$a
eq 0$$ и $$b
eq 0$$ выражение положительно.

Ответ: Значение выражения положительно при условиях a > -2b, a≠0 и b≠0.