Задача 5: Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью о = (3t² - 6t)(м/с), второе со скоростью υ =(10t + 20)(м/с). В какой момент, и на каком расстоянии от начальной точки произойдёт их встреча?

Ответ: встреча произойдет через 5 секунд на расстоянии 125 м от начальной точки.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем уравнения скорости для каждого тела:
  • Первое тело: \(v_1 = 3t^2 - 6t\)
  • Второе тело: \(v_2 = 10t + 20\)
• Шаг 2: Найдем уравнения пути для каждого тела, интегрируя скорость по времени:
  • Первое тело: \(S_1 = \int (3t^2 - 6t) dt = t^3 - 3t^2 + C_1\). Так как тело начинает движение из начальной точки, \(C_1 = 0\), следовательно, \(S_1 = t^3 - 3t^2\)
  • Второе тело: \(S_2 = \int (10t + 20) dt = 5t^2 + 20t + C_2\). Аналогично, \(C_2 = 0\), следовательно, \(S_2 = 5t^2 + 20t\)
• Шаг 3: Приравняем пути, чтобы найти время встречи:
  • \(S_1 = S_2\)
  • \(t^3 - 3t^2 = 5t^2 + 20t\)
  • \(t^3 - 8t^2 - 20t = 0\)
  • \(t(t^2 - 8t - 20) = 0\)
  • \(t = 0\) или \(t^2 - 8t - 20 = 0\)
• Шаг 4: Решим квадратное уравнение \(t^2 - 8t - 20 = 0\):
  • Дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144\)
  • Корни: \(t_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10\), \(t_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2\)
  Так как время не может быть отрицательным, и исключаем начальный момент времени, то время встречи \(t = 10\) секунд.
• Шаг 5: Теперь найдем расстояние от начальной точки, подставив время встречи в уравнение пути для любого тела (например, второго):
  • \(S_2 = 5(10)^2 + 20(10) = 5(100) + 200 = 500 + 200 = 700\) м

Ответ: встреча произойдет через 10 секунд на расстоянии 700 м от начальной точки.