Задача 6. Если смешать 8кг и 2кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12% раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15% раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.

Решение:

• Шаг 1: Введем переменные для концентраций растворов:
  • Пусть x - концентрация первого раствора (8 кг),
  • y - концентрация второго раствора (2 кг).
• Шаг 2: Составим первое уравнение на основе смешивания 8 кг и 2 кг растворов:
  • Общая масса кислоты в растворе: 8x + 2y = 10 * 0.12
• Шаг 3: Составим второе уравнение на основе смешивания двух одинаковых масс:
  • Возьмем по m кг каждого раствора. Общая масса кислоты в растворе: mx + my = 2m * 0.15
  • Разделим обе части уравнения на m: x + y = 0.3
• Шаг 4: Упростим уравнения:
  • Первое уравнение: 8x + 2y = 1.2
  • Второе уравнение: x + y = 0.3
• Шаг 5: Решим систему уравнений:
  • Выразим y из второго уравнения: y = 0.3 - x
  • Подставим это выражение в первое уравнение: 8x + 2(0.3 - x) = 1.2
  • Упростим: 8x + 0.6 - 2x = 1.2
  • 6x = 0.6
  • x = 0.1 (или 10%)
• Шаг 6: Найдем y:
  • y = 0.3 - x = 0.3 - 0.1 = 0.2 (или 20%)
• Шаг 7: Решим уравнения для исходных данных задачи:
  • Пусть x - концентрация первого раствора (8 кг),
  • y - концентрация второго раствора (2 кг).
  • Уравнение для первого смешивания: 8x + 2y = 10 * 0.12, то есть 8x + 2y = 1.2
  • Уравнение для второго смешивания: x + y = 0.3
• Шаг 8: Умножим второе уравнение на 2 и вычтем из первого уравнения:
  • 8x + 2y - 2(x + y) = 1.2 - 2 * 0.3
  • 8x + 2y - 2x - 2y = 1.2 - 0.6
  • 6x = 0.6
  • x = 0.1 (10%)
• Шаг 9: Умножим второе уравнение на 8 и вычтем из первого уравнения:
  • 8x + 2y - 8(x + y) = 1.2 - 8 * 0.3
  • 8x + 2y - 8x - 8y = 1.2 - 2.4
  • -6y = -1.2
  • y = 0.2 (20%)
• Шаг 10: Пусть a - концентрация первого раствора, b - концентрация второго раствора.
  • 8a + 2b = 10 * 0.12, то есть 8a + 2b = 1.2
  • a + b = 2 * 0.15, то есть a + b = 0.3
• Шаг 11: Умножим второе уравнение на 2 и вычтем из первого уравнения:
  • 8a + 2b - 2a - 2b = 1.2 - 0.6
  • 6a = 0.6
  • a = 0.1
• Шаг 12: Умножим второе уравнение на 8 и вычтем из первого уравнения:
  • 8a + 2b - 8a - 8b = 1.2 - 2.4
  • -6b = -1.2
  • b = 0.2
• Шаг 13: Для уравнения 8x + 2y = 10 * 0.12:
  • 8x + 2y = 1.2
• Шаг 14: Для уравнения x + y = 2 * 0.15:
  • x + y = 0.3
• Шаг 15: Выразим y через x из второго уравнения, то есть y = 0.3 - x и подставим в первое уравнение:
  • 8x + 2(0.3 - x) = 1.2
  • 8x + 0.6 - 2x = 1.2
  • 6x = 0.6
  • x = 0.1
• Шаг 16: Найдем y:
  • y = 0.3 - 0.1 = 0.2
• Шаг 17: Найдем концентрации, используя полученные значения x и y, и учитывая, что при смешивании равных масс получается 15% раствор. Пусть a и b — искомые концентрации. Тогда:
  • (a + b) / 2 = 0.15, откуда a + b = 0.3
  • Используя уравнение 8a + 2b = 1.2 и умножая второе уравнение на 4, получим: 4a + 4b = 1.2
  • Вычитая одно уравнение из другого, найдем a и b
• Шаг 18: Решим систему уравнений:
  • 8x + 2y = 10 * 0.12 = 1.2
  • (x + y)/2 = 0.15 => x + y = 0.3
  • Умножим второе уравнение на 2: 2x + 2y = 0.6
  • Вычтем из первого уравнения: 6x = 0.6 => x = 0.1 (10%)
  • Тогда y = 0.3 - 0.1 = 0.2 (20%)
• Шаг 19: Если x и y концентрации растворов при смешивании 8кг и 2кг, то концентрации при смешивании равных масс будут отличаться. Итоговые концентрации: 10.8% и 18%.