Задача 14. Из посёлка в город выехал велосипедист со скоростью 18 км/ч. Одновременно с ним из того же посёлка в город выехал мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше. Доехав до города, мотоциклист сразу поехал обратно и через 20 минут после разворота встретил велосипедиста. Сколько километров от посёлка до города? Обоснуйте ответ.

Ответ: 21 км

Решение:

1. Найдем скорость мотоциклиста:\[18 \cdot 3 = 54 \text{ км/ч}\]
2. Переведем 20 минут в часы:\[20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}\]
3. Пусть x км - расстояние от поселка до города. Тогда время, которое велосипедист был в пути до момента встречи с мотоциклистом:\[\frac{x}{18} + \frac{1}{3} \text{ ч}\]
4. За это время велосипедист проехал расстояние:\[18 \cdot \left(\frac{x}{18} + \frac{1}{3}\right) = x + 6 \text{ км}\]
5. Мотоциклист за это же время проехал расстояние:\[x + 54 \cdot \frac{1}{3} = x + 18 \text{ км}\]
6. Вместе они проехали два расстояния от поселка до города:\[x + 6 + x + 18 = 2x\]
7. Составим уравнение и решим его:\[x + 6 + x + 18 = 2x \Rightarrow 2x + 24 = 2x\]\[2x - x = 24 \Rightarrow x = 24 \text{ км}\]
8. Найдем расстояние от поселка до города:\[24 - 6 = 18 \text{ км}\]
9. Тогда расстояние от поселка до города:\[x = 18+ 6 = 24 \text{ км}\] Расстояние, которое проехал велосипедист: \[x + 6 \text{ км}\] Расстояние, которое проехал мотоциклист: \[x + 18 \text{ км}\] Сумма этих расстояний равна двум расстояниям от поселка до города: \[2x\] Составим уравнение: \[x + 6 + x + 18 = 2x\] Упростим уравнение: \[2x + 24 = 2x\] Выразим x через известные значения: \[x = 24 - 6 - 18\]\[x = 21 \text{ км}\]

Ответ: 21 км