Задача 11. Из точки А к окружности проведены касательная АВ и секущая АС, при этом отрезок АС пересекается с окружностью в точке D. При этом секущая оказалась в 3 раза больше касательной. Найдите длину секущей, если AD=2 см. Решение Пусть АВ-х см. Тогда АС=3х см.

Решение:

Пусть длина касательной AB = x см, тогда длина секущей AC = 3x см. Отрезок AD = 2 см.

По теореме о касательной и секущей, квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть:

\[ AB^2 = AD \cdot AC \]

Подставим известные значения:

\[ x^2 = 2 \cdot 3x \]

Решим уравнение:

\[ x^2 = 6x \] \[ x^2 - 6x = 0 \] \[ x(x - 6) = 0 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 6 \]

Так как длина отрезка не может быть равна нулю, то x = 6 см. Тогда длина секущей AC равна:

\[ AC = 3x = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см} \]

Ответ: 18 см