Задача 2. Лёгкая. Точка пересечения графиков. Постройте в одной системе координат графики функций y = \(\sqrt{x}\) и y = -0,5x + 4 и определите координаты точки их пересечения. Абсцисса точки пересечения. Ордината точки пересечения

Решение:

Нам даны функции:

• \(y = \sqrt{x}\)
• \(y = -0,5x + 4\)

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти точки пересечения:

\(\sqrt{x} = -0,5x + 4\)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\(x = (-0,5x + 4)^2\)

\(x = 0,25x^2 - 4x + 16\)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\(0,25x^2 - 5x + 16 = 0\)

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\(x^2 - 20x + 64 = 0\)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

\(D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144\)

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{144}}{2} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{144}}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

Проверим полученные значения, подставив их в исходное уравнение \(\sqrt{x} = -0,5x + 4\):

Для \(x_1 = 16\):

\(\sqrt{16} = -0,5 \cdot 16 + 4\)

\(4 = -8 + 4\)

\(4 = -4\) (неверно)

Для \(x_2 = 4\):

\(\sqrt{4} = -0,5 \cdot 4 + 4\)

\(2 = -2 + 4\)

\(2 = 2\) (верно)

Значит, абсцисса точки пересечения равна 4.

Теперь найдем ординату точки пересечения, подставив \(x = 4\) в уравнение \(y = \sqrt{x}\):

\(y = \sqrt{4} = 2\)

Или в уравнение \(y = -0,5x + 4\):

\(y = -0,5 \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2\)

Ордината точки пересечения равна 2.

Ответ: Абсцисса точки пересечения: 4. Ордината точки пересечения: 2.