Задача 3. Лёгкая Квадратные неравенства Установите соответствие между неравенствами и их решениями. x²-x-2≥0 x²+x-2≤0 x²-x-2≤0 x²+x-2≥0

Давай разберем по порядку, как решить эти квадратные неравенства. 1) \(x^2 - x - 2 \ge 0\) * Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\). Используем дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1\] * Корни уравнения: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -1\). * Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется. Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Значит, неравенство \(x^2 - x - 2 \ge 0\) выполняется вне интервала между корнями. * Решение неравенства: \(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\). 2) \(x^2 + x - 2 \le 0\) * Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + x - 2 = 0\). Используем дискриминант: \[D = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\] * Корни уравнения: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2\). * Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Значит, неравенство \(x^2 + x - 2 \le 0\) выполняется на интервале между корнями. * Решение неравенства: \(x \in [-2; 1]\). 3) \(x^2 - x - 2 \le 0\) * Мы уже нашли корни этого уравнения в первом пункте: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -1\). * Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Значит, неравенство \(x^2 - x - 2 \le 0\) выполняется на интервале между корнями. * Решение неравенства: \(x \in [-1; 2]\). 4) \(x^2 + x - 2 \ge 0\) * Мы уже нашли корни этого уравнения во втором пункте: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2\). * Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Значит, неравенство \(x^2 + x - 2 \ge 0\) выполняется вне интервала между корнями. * Решение неравенства: \(x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\). Теперь сопоставим неравенства и их решения: * \(x^2 - x - 2 \ge 0\) соответствует \(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\). * \(x^2 + x - 2 \le 0\) соответствует \(x \in [-2; 1]\). * \(x^2 - x - 2 \le 0\) соответствует \(x \in [-1; 2]\). * \(x^2 + x - 2 \ge 0\) соответствует \(x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\).

Ответ:

* \(x^2 - x - 2 \ge 0\) - \(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\) * \(x^2 + x - 2 \le 0\) - \(x \in [-2; 1]\) * \(x^2 - x - 2 \le 0\) - \(x \in [-1; 2]\) * \(x^2 + x - 2 \ge 0\) - \(x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\) Ты молодец! У тебя всё получится!