Задача 17. Маша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 543. Какую цифру зачеркнула Маша?

Решение: Пусть загаданное число (N). Тогда (N - S(N) = X), где (S(N)) — сумма цифр числа (N), а (X) — некоторое число. После зачеркивания одной цифры в числе (X) получилось 543. Это означает, что число (X) могло быть получено путем добавления одной цифры к 543 в различных позициях, например: (*543, 5*43, 54*3, 543*), где * означает пропущенную цифру. Так как (N - S(N) = X), то (N = X + S(N)). Сумма цифр (S(N)) не может быть слишком большой, поэтому (X) должно быть близко к (N). Допустим, что пропущенная цифра была добавлена к числу 543 и получилось четырехзначное число. То есть, (X) — четырехзначное число, а значит, (N) тоже четырехзначное. Сумма цифр четырехзначного числа не превосходит (9 cdot 4 = 36). Следовательно, число (X) должно быть не намного меньше числа (N). Рассмотрим возможные варианты для числа (X): 1. Если (X = a543), то (X = 1000a + 543). Тогда (N = a543 + S(N)). Поскольку (N \approx a543), можно предположить, что (a = 5, 6, 7, 8, 9). Но (N - S(N) = X), значит, (X) должно быть меньше (N). Пусть (a = 5), тогда (X = 5543). (S(N) \le 36), значит, (N) может быть в пределах (5543+36 = 5579). 2. Если (X = 5a43), то (X = 5000 + 100a + 43). Тогда (N = 5a43 + S(N)). 3. Если (X = 54a3), то (X = 5400 + 10a + 3). Тогда (N = 54a3 + S(N)). 4. Если (X = 543a), то (X = 5430 + a). Тогда (N = 543a + S(N)). Попробуем (X = 5430 + a). Тогда (X = 5430 + a), где (a) — удаленная цифра. Тогда (N - S(N) = 5430 + a). Если (a = 1), то (X = 5431). (N) должно быть немного больше, и (S(N)) должно быть такое, чтобы разность давала 5431. Пусть (N = 5440). Тогда (S(N) = 5 + 4 + 4 + 0 = 13). (N - S(N) = 5440 - 13 = 5427). Не подходит. Пусть (N = 6000). Тогда (S(N) = 6). (N - S(N) = 6000 - 6 = 5994). Заметим, что (543 + 9 = 552), (543 + 18 = 561), (543 + 27 = 570), (543 + 36 = 579). Если Маша зачеркнула цифру 7, то число до зачеркивания было 5437. Пусть задуманное число (N = 5441), тогда сумма его цифр (S(N) = 5 + 4 + 4 + 1 = 14). (5441 - 14 = 5427). Если Маша зачеркнула цифру 2, то число до зачеркивания было 2543. Пусть задуманное число (N = 2560), тогда сумма его цифр (S(N) = 2 + 5 + 6 + 0 = 13). (2560 - 13 = 2547). Пусть (N = 600), тогда (S(N) = 6), (N - S(N) = 594). Если предположить, что была зачеркнута первая цифра, то число до зачеркивания (x543), где (x) - вычеркнутая цифра. Тогда искомое число (N) будет отличаться от (x543) на сумму цифр (S(N)), которая не должна быть больше 36. Если была вычеркнута цифра 6 и получилось 543, то можно предположить, что число было около 600. В таком случае (N) должно быть в районе 600. Если (N = 600), то (S(N) = 6). Тогда (N - S(N) = 600 - 6 = 594). Ответ: 6