Задача 2. Найдите косинусы углов треугольника АВС, если A(1; 7), B(-2; 4), C(2; 0). 4 Задача 3. Две стороны треугольника равны 4 см и 7 см, а ко- синус угла между ними равен ( 2 7) Определите синусы всех углов данного треугольника и его третью сторону. Задача 4. АВСD - ромб, АB = 6, ∠A = 60°. Найти: а) АВ AC; 6) AD. DB; B) (AB+ AD) (AB - AD). Задача 5. Дано: Два перпендикулярных отрезка ЕК и РМ, E(-3; 1), K(1; 4), M(2; 1), P(-4; a). Найти: а) значение а) б) угол между прямыми РЕ и ЕК. Задача 6. Дано: m 1k, k{2; -1}, | = √80, а угол между век- тором т и осью Оу тупой. Найти: Координаты вектора т.{x, {x,y}

Задача 2. Найдите косинусы углов треугольника АВС, если A(1; 7), B(-2; 4), C(2; 0).

Для решения этой задачи, нужно найти длины сторон треугольника и использовать теорему косинусов.

1. Найдем длины сторон треугольника:

• AB = √((1 - (-2))^2 + (7 - 4)^2) = √(3^2 + 3^2) = √(9 + 9) = √18 = 3√2
• BC = √((-2 - 2)^2 + (4 - 0)^2) = √((-4)^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 = 4√2
• AC = √((1 - 2)^2 + (7 - 0)^2) = √((-1)^2 + 7^2) = √(1 + 49) = √50 = 5√2

2. Используем теорему косинусов для каждого угла:

• cos A = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) = (18 + 50 - 32) / (2 * 3√2 * 5√2) = (36) / (2 * 3 * 5 * 2) = 36 / 60 = 3/5
• cos B = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) = (18 + 32 - 50) / (2 * 3√2 * 4√2) = 0 / (2 * 3 * 4 * 2) = 0
• cos C = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 * AC * BC) = (50 + 32 - 18) / (2 * 5√2 * 4√2) = (64) / (2 * 5 * 4 * 2) = 64 / 80 = 4/5

Ответ: cos A = 3/5, cos B = 0, cos C = 4/5

Задача 3. Две стороны треугольника равны 4 см и 7 см, а косинус угла между ними равен 2/7. Определите синусы всех углов данного треугольника и его третью сторону.

Пусть a = 4, b = 7, cos(γ) = 2/7.

1. Найдем синус угла γ:

sin^2(γ) + cos^2(γ) = 1 sin^2(γ) = 1 - cos^2(γ) = 1 - (2/7)^2 = 1 - 4/49 = 45/49 sin(γ) = √(45/49) = (3√5) / 7

2. Найдем третью сторону c, используя теорему косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ) = 4^2 + 7^2 - 2 * 4 * 7 * (2/7) = 16 + 49 - 16 = 49 c = √49 = 7

3. Найдем синусы остальных углов, используя теорему синусов:

sin(α) / a = sin(γ) / c sin(α) / 4 = ((3√5) / 7) / 7 sin(α) = (4 * 3√5) / 49 = (12√5) / 49

sin(β) / b = sin(γ) / c sin(β) / 7 = ((3√5) / 7) / 7 sin(β) = (7 * 3√5) / 49 = (3√5) / 7

Ответ: sin(γ) = (3√5) / 7, sin(α) = (12√5) / 49, sin(β) = (3√5) / 7, третья сторона = 7

Задача 4. АВСD - ромб, АB = 6, ∠A = 60°. Найти: а) АВ · АС; б) АD · DB; в) (AB+ AD) · (AB - AD).

а) Найдем АС:

Т.к. ABCD - ромб, то AD = AB = 6. Рассмотрим треугольник ADC. Т.к. AD = DC, то треугольник равнобедренный, и углы при основании равны. ∠ADC = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°. Тогда ∠DAC = ∠DCA = (180° - 120°) / 2 = 30°.

Применим теорему косинусов к треугольнику ADC:

AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 * AD * DC * cos(∠ADC) = 6^2 + 6^2 - 2 * 6 * 6 * cos(120°) = 36 + 36 - 72 * (-1/2) = 72 + 36 = 108 AC = √108 = 6√3

Теперь найдем скалярное произведение АВ · АС:

AB · AC = |AB| * |AC| * cos(∠BAC) = 6 * 6√3 * cos(30°) = 6 * 6√3 * (√3 / 2) = 36√3 * (√3 / 2) = 36 * 3 / 2 = 54

б) Найдем АD · DB:

DB^2 = AD^2 + AB^2 - 2 * AD * AB * cos(∠A) = 6^2 + 6^2 - 2 * 6 * 6 * cos(60°) = 36 + 36 - 72 * (1/2) = 72 - 36 = 36 DB = √36 = 6

Теперь найдем скалярное произведение АD · DB: ∠ADB = 120°

AD · DB = |AD| * |DB| * cos(∠ADB) = 6 * 6 * cos(120°) = 36 * (-1/2) = -18

в) Найдем (AB + AD) · (AB - AD):

(AB + AD) · (AB - AD) = AB^2 - AD^2 = |AB|^2 - |AD|^2 = 6^2 - 6^2 = 36 - 36 = 0

Ответ: а) 54, б) -18, в) 0

Задача 5. Дано: Два перпендикулярных отрезка ЕК и РМ, E(-3; 1), K(1; 4), M(2; 1), P(-4; a). Найти: а) значение а) б) угол между прямыми РЕ и ЕК.

а) Найдем значение a, используя перпендикулярность ЕК и РМ:

Вектор EK = (1 - (-3), 4 - 1) = (4, 3) Вектор MP = (-4 - 2, a - 1) = (-6, a - 1)

Т.к. ЕК и РМ перпендикулярны, то скалярное произведение их векторов равно 0:

EK · MP = 4 * (-6) + 3 * (a - 1) = 0 -24 + 3a - 3 = 0 3a = 27 a = 9

б) Найдем угол между прямыми РЕ и ЕК:

Вектор PE = (-3 - (-4), 1 - 9) = (1, -8) Вектор EK = (4, 3) cos(θ) = (PE · EK) / (|PE| * |EK|) = (1 * 4 + (-8) * 3) / (√(1^2 + (-8)^2) * √(4^2 + 3^2)) = (4 - 24) / (√65 * √25) = -20 / (5√65) = -4 / √65

θ = arccos(-4 / √65)

Ответ: а = 9, θ = arccos(-4 / √65)

Задача 6. Дано: m ⊥ k, k{2; -1}, |m| = √80, а угол между вектором m и осью Оу тупой. Найти: Координаты вектора m.{x, y}

Пусть m = {x, y}. Так как m ⊥ k, то m · k = 0:

2x - y = 0 y = 2x

Известно, что |m| = √80:

x^2 + y^2 = 80 x^2 + (2x)^2 = 80 x^2 + 4x^2 = 80 5x^2 = 80 x^2 = 16 x = ±4

Тогда y = 2x, значит y = ±8. Таким образом, возможны два вектора: m1{4, 8} и m2{-4, -8}.

Так как угол между m и осью Oy тупой, то скалярное произведение m и вектора оси Oy {0, 1} должно быть отрицательным:

m · {0, 1} = y < 0

Значит, y должен быть отрицательным, поэтому выбираем m2{-4, -8}.

Ответ: m{-4, -8}