Задача 1. Одна из диагоналей трапеции, равная 16 см, делит другую диагональ на части, равные 7 см и 5 см. Определить, на какие части делится точкой пересечения первая диагональ, и найти большее основание трапеции, если меньшее ее основание равно 4 см.

Для решения данной задачи, нужно воспользоваться свойствами подобных треугольников, которые образуются при пересечении диагоналей трапеции.

1. Пусть трапеция ABCD, где AB и CD - основания, O - точка пересечения диагоналей AC и BD. Пусть AC = 16 см, BD разделена на отрезки длиной 7 см и 5 см точкой O, то есть BO = 7 см, OD = 5 см. Меньшее основание, например, CD = 4 см.

2. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (вертикальные углы при O и накрест лежащие углы при основаниях). Следовательно, отношения сторон пропорциональны: BO/OD = BC/AD. То есть 7/5 = BC/AD.

3. Так как CD (меньшее основание) = 4 см, то AD (большее основание) можно найти из пропорции. Пусть AD = x. Тогда 7/5 = 4/x, что неверно. Верная пропорция BO/OD = BC/AD, где BC = 4 см. Тогда AD/BC = OD/BO, AD/4 = 5/7. AD = (5/7)*4 = 20/7 см.

4. Нужно найти большее основание трапеции, зная, что CD = 4 см. Из подобия треугольников BOC и AOD имеем: BO/OD = BC/AD, то есть 7/5 = 4/AD. Отсюда AD = (4*5)/7 = 20/7 см.

5. Ошибка в рассуждениях. Правильно: из подобия треугольников BOC и AOD следует, что BO/OD = BC/AD, то есть 7/5 = 4/AD. AD = (4*5)/7 = 20/7. Это неверно, т.к. AD должно быть больше BC.

6. Новое решение. Треугольники AOD и COB подобны. Значит, AD/BC = OD/OB = 5/7. Пусть BC = 4 см (меньшее основание). Тогда AD/4 = 5/7. AD = (5/7)*4 = 20/7. Снова ошибка!

7. Верное решение. Пусть BC = 4 см. Тогда AD/BC = AO/OC = DO/OB = 5/7. Следовательно, AD = (5/7) * BC. AD = (7/5) * BC. AD = (7/5) * 4 = 28/5 = 5.6 см.

8. Пусть AC = 16 см. AO/OC = AD/BC = 7/5. AO + OC = 16. AO = (7/12) * 16 = 28/3 см. OC = (5/12) * 16 = 20/3 см.

Ответ: Большая сторона основания 5.6 см, диагональ делится на отрезки 28/3 см и 20/3 см.