Задача 12: Одновременно зажгли три свечи одинаковой длины, но разного диаметра. Длина каждой свечи 30 см. Первая свеча была самая толстая, вторая – потоньше, а третья – самая тонкая. В тот момент, когда догорела третья свеча, первую и вторую тоже потушили. Оказалось, что огарок от первой свечи в три раза длиннее, чем от второй. За какое время полностью сгорает третья свеча, если известно, что первая сгорает за 10 ч, а вторая за 6 ч? Запишите решение и ответ.

Решение:
1. Обозначим длину огарка второй свечи за x см. Тогда длина огарка первой свечи равна 3x см.
2. Скорость горения первой свечи: \(30 \text{ см} / 10 \text{ ч} = 3 \text{ см/ч}\)
3. Скорость горения второй свечи: \(30 \text{ см} / 6 \text{ ч} = 5 \text{ см/ч}\)
4. Время, которое горели первая и вторая свечи до того, как третью потушили, одинаковое. Обозначим это время за t часов.
5. Тогда, длина сгоревшей части первой свечи: \(3 \text{ см/ч} \cdot t \text{ ч} = 3t \text{ см}\). Значит, \(30 - 3t = 3x\).
6. Длина сгоревшей части второй свечи: \(5 \text{ см/ч} \cdot t \text{ ч} = 5t \text{ см}\). Значит, \(30 - 5t = x\).
7. Решаем систему уравнений:
\(\begin{cases}\)
30 - 3t = 3x \\
30 - 5t = x
\(\end{cases}\)
Подставляем второе уравнение в первое:
\(30 - 3t = 3(30 - 5t)\)
\(30 - 3t = 90 - 15t\)
\(12t = 60\)
\(t = 5 \text{ часов}\)
8. Находим x: \(x = 30 - 5 \cdot 5 = 5 \text{ см}\)
9. Следовательно, первая свеча сгорела на \(30 - 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}\).
10. Третья свеча горела 5 часов, и ее скорость горения \(30 \text{ см} / 5 \text{ ч} = 6 \text{ см/ч}\) (Понимаем, что длина свечи 30 см)
Время, за которое сгорает третья свеча: t = 5ч

Ответ: 5 часов.