Задача 12. Одновременно зажгли три свечи одинаковой длины, но разного диаметра. Длина каждой свечи 24 см. Первая свеча была самая толстая, вторая — потоньше, а третья — самая тонкая. В тот момент, когда догорела третья свеча, первую и вторую тоже потушили. Оказалось, что огарок от первой свечи в два раза длиннее, чем от второй. За какое время полностью сгорает третья свеча, если известно, что первая сгорает за 6 ч, а вторая за 4 ч? Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть $$L$$ - длина каждой свечи (24 см).
Пусть $$v_1$$, $$v_2$$, $$v_3$$ - скорости горения первой, второй и третьей свечей соответственно (см/ч).
Пусть $$t$$ - время, в течение которого горели все три свечи (в часах).

Тогда, длины сгоревших частей свечей за время $$t$$ равны:
$$L - v_1t$$ (остаток первой свечи)
$$L - v_2t$$ (остаток второй свечи)

По условию, огарок от первой свечи в два раза длиннее, чем от второй:
$$L - v_1t = 2(L - v_2t)$$
$$L - v_1t = 2L - 2v_2t$$
$$2v_2t - v_1t = L$$
$$t(2v_2 - v_1) = L$$

Известно, что первая свеча сгорает за 6 ч, а вторая за 4 ч. Значит:
$$v_1 = \frac{L}{6}$$
$$v_2 = \frac{L}{4}$$

Подставим эти значения в уравнение:
$$t(2 \cdot \frac{L}{4} - \frac{L}{6}) = L$$
$$t(\frac{L}{2} - \frac{L}{6}) = L$$
$$t(\frac{3L - L}{6}) = L$$
$$t(\frac{2L}{6}) = L$$
$$t(\frac{L}{3}) = L$$
$$t = 3$$ ч

Таким образом, все три свечи горели 3 часа.

Найдем, сколько см осталось от первой и второй свечи:
Остаток первой свечи: $$L - v_1t = L - \frac{L}{6} \cdot 3 = L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ см
Остаток второй свечи: $$L - v_2t = L - \frac{L}{4} \cdot 3 = L - \frac{3L}{4} = \frac{L}{4} = \frac{24}{4} = 6$$ см
Действительно, остаток первой свечи в два раза больше, чем от второй (12 см = 2 * 6 см).

Третья свеча сгорела полностью за 3 часа. Значит, ее скорость горения:
$$v_3 = \frac{L}{t} = \frac{24}{3} = 8$$ см/ч

Время, за которое сгорает третья свеча:
$$T = \frac{L}{v_3} = \frac{24}{8} = 3$$ часа

Ответ: **3 часа**