Задача 5. Определить, какое количество продукции (изделий) следует подвергнуть выборочному обследованию для определения среднего срока службы, чтобы с вероятностью 0,9545 относительная предельная ошибка выборки не превысила 5%. Коэффициент вариации среднего срока службы изделий по пробной выборке составил 30%, а вся партия обследуемой продукции состоит из 2000 единиц.

Для решения задачи необходимо определить объем выборки, обеспечивающий заданную точность и надежность оценки среднего срока службы изделий.

Исходные данные:

• Вероятность (доверительная): $$P = 0.9545$$.
• Относительная предельная ошибка выборки: $$\Delta = 5\% = 0.05$$.
• Коэффициент вариации: $$V = 30\% = 0.3$$.
• Размер партии (генеральной совокупности): $$N = 2000$$.

Формула для расчета необходимого объема выборки (n) при известной генеральной совокупности (N) и заданной относительной ошибке:

$$n = \frac{t^2 \cdot V^2 \cdot N}{\Delta^2 \cdot (N - 1) + t^2 \cdot V^2}$$,

где t - коэффициент, определяемый из таблицы значений функции Лапласа в зависимости от заданной вероятности P.

Для вероятности 0.9545 функция Лапласа равна 0.9545/2 = 0.47725. Значение t, соответствующее этому значению функции Лапласа, примерно равно 2.

Подставим значения в формулу:

$$n = \frac{2^2 \cdot 0.3^2 \cdot 2000}{0.05^2 \cdot (2000 - 1) + 2^2 \cdot 0.3^2} = \frac{4 \cdot 0.09 \cdot 2000}{0.0025 \cdot 1999 + 4 \cdot 0.09} = \frac{720}{4.9975 + 0.36} = \frac{720}{5.3575} \approx 134.4$$

Округлим полученное значение до целого числа, так как количество изделий должно быть целым числом.

$$n \approx 135$$

Следовательно, необходимо подвергнуть выборочному обследованию 135 изделий.

Ответ: 135