Задача 3: Основание прямого параллелепипеда ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение: 1. Найдем сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Поэтому половинки диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Сторона ромба равна: $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{10}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ см. 2. Найдем площадь основания (ромба). Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$$ см$$^2$$. 3. Найдем высоту параллелепипеда. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Значит, высота параллелепипеда равна меньшей диагонали основания (ромба), так как тангенс угла 45° равен 1. $$h = d_{меньшая} = 10$$ см. 4. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда. Она равна произведению периметра основания на высоту: $$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 13 = 52$$ см. $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 52 \cdot 10 = 520$$ см$$^2$$. 5. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда. Она равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 520 + 2 \cdot 120 = 520 + 240 = 760$$ см$$^2$$. Ответ: 760 см$$^2$$