Задача 2. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

• Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, описанная около окружности, где AB = CD, BC = 6, AD = 8, и радиус окружности r = 5.
• В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Так как AB = CD, то 2AB = 6 + 8 = 14, следовательно, AB = CD = 7.
• Пусть BH — высота трапеции. Проведем высоту CF. Тогда AH = (AD - BC) / 2 = (8 - 6) / 2 = 1.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: BH² = AB² - AH².
• BH² = 7² - 1² = 49 - 1 = 48.
• BH = \(\sqrt{48}\) = 4\(\sqrt{3}\).

Ответ: Высота трапеции равна 4\(\sqrt{3}\).