Задача 10: Рабочий на заводе заметил, что в прошлые годы выпускаемые покровные стёкла отличались по толщине от тех, которые выпускаются теперь. Он провёл несколько опытов, складывая стекла в стопку, и выяснил, что стопка из 5 старых стёкол выше стопки из 2, но ниже стопки из 3 новых стёкол; стопка из 9 старых стёкол выше стопки из 4, но ниже стопки из 5 новых стёкол; стопка из 17 старых стёкол выше стопки из 8, но ниже стопки из 9 новых стёкол. 1) Определите границы отношения толщины старого стекла к толщине нового по результатам каждого из трёх экспериментов. Ответ при необходимости округлите до сотых долей. 2) Оцените, в каком из экспериментов точность определения отношения толщин будет выше. 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить отношение толщин с наибольшей точностью, найдите толщину старого стекла и оцените её погрешность. Считайте толщину нового стекла d₁ = 0,180 мм известной точно. Ответ округлите до тысячных долей миллиметра.

Решение:

1) Определим границы отношения толщины старого стекла к толщине нового для каждого из трех экспериментов:

• Эксперимент 1:

5 старых выше 2 новых, но ниже 3 новых. Обозначим толщину старого стекла как ds, а нового как dn.

\[2d_n < 5d_s < 3d_n\] \[\frac{2}{5} < \frac{d_s}{d_n} < \frac{3}{5}\] \[0.4 < \frac{d_s}{d_n} < 0.6\]

• Эксперимент 2:

9 старых выше 4 новых, но ниже 5 новых.

\[4d_n < 9d_s < 5d_n\] \[\frac{4}{9} < \frac{d_s}{d_n} < \frac{5}{9}\] \[0.44 < \frac{d_s}{d_n} < 0.56\]

• Эксперимент 3:

17 старых выше 8 новых, но ниже 9 новых.

\[8d_n < 17d_s < 9d_n\] \[\frac{8}{17} < \frac{d_s}{d_n} < \frac{9}{17}\] \[0.47 < \frac{d_s}{d_n} < 0.53\]

2) Оценим, в каком из экспериментов точность определения отношения толщин будет выше:

Точность выше там, где интервал отношения толщин меньше. Самый маленький интервал в эксперименте 3 (0.53 - 0.47 = 0.06).

3) Используя результаты третьего измерения, определим отношение толщин с наибольшей точностью:

Среднее значение отношения толщин в эксперименте 3:

\[\frac{d_s}{d_n} = \frac{0.47 + 0.53}{2} = 0.5\]

Толщина нового стекла: dn = 0.180 мм.

Толщина старого стекла:

\[d_s = 0.5 \cdot d_n = 0.5 \cdot 0.180 = 0.090 \text{ мм}\]

Погрешность измерения:

\[\Delta \left(\frac{d_s}{d_n}\right) = \frac{0.53 - 0.47}{2} = 0.03\]

Относительная погрешность:

\[\frac{\Delta d_s}{d_s} = \sqrt{\left(\frac{\Delta \left(\frac{d_s}{d_n}\right)}{\frac{d_s}{d_n}}\right)^2 + \left(\frac{\Delta d_n}{d_n}\right)^2}\]

где Δdn = 0.0005 мм (половина наименьшего деления).

\[\frac{\Delta d_s}{d_s} = \sqrt{\left(\frac{0.03}{0.5}\right)^2 + \left(\frac{0.0005}{0.180}\right)^2} = \sqrt{0.0036 + 0.0000077} \approx 0.06\]

Абсолютная погрешность:

\[\Delta d_s = 0.06 \cdot d_s = 0.06 \cdot 0.090 = 0.0054 \text{ мм}\]

Округлим до тысячных:

\[d_s = 0.090 \pm 0.005 \text{ мм}\]

Переведем в микроны:

\[d_s = 90 \pm 5 \text{ мкм}\]

Отношение толщин:

\[5d_s = 4.5 \pm 0.25 \text{ мкм}\] \[2d_n = 0.36 \pm 0.0001 \text{ мм} = 360 \pm 0.1 \text{ мкм}\] \[\frac{5d_s}{2d_n} = \frac{450}{360} = 1.25 \pm 0.09\] \[3d_n = 0.54 \pm 0.0001 \text{ мм} = 540 \pm 0.1 \text{ мкм}\] \[\frac{5d_s}{3d_n} = \frac{450}{540} = 0.833 \pm 0.05\]

Отношение толщин старого стекла к новому в микронах:

\[d_s = 90 \pm 5 \text{ мкм}\] \[d_n = 180 \pm 0.1 \text{ мкм}\] \[\frac{17d_s}{9d_n} = \frac{1530}{1620} = 0.944 \pm 0.06\] \[\frac{8d_n}{17d_s} = \frac{1440}{1530} = 0.941 \pm 0.06\] \[d_s = 0.089 \text{ мкм}\] \[d_n = 0.180 \text{ мкм}\] \[\frac{d_s}{d_n} = 2.646 \pm 0.089\]