Задача № 6 Решите систему неравенств:$$\begin{cases}2x-3>3(x-2)-1\\2-3(2-x)<5(2x-1)\\13-\frac{x}{2}>3(x+2)-1\end{cases}$$

Решим систему неравенств по шагам:

1. Первое неравенство: $$2x-3>3(x-2)-1$$
• Раскроем скобки: $$2x - 3 > 3x - 6 - 1$$.
• Упростим: $$2x - 3 > 3x - 7$$.
• Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую: $$2x - 3x > 3 - 7$$.
• Упростим: $$-x > -4$$.
• Умножим обе части на -1 (не забываем изменить знак неравенства, так как умножаем на отрицательное число): $$x < 4$$.
• Итак, первое неравенство имеет решение: $$x < 4$$.
2. Второе неравенство: $$2-3(2-x)<5(2x-1)$$
• Раскроем скобки: $$2 - 6 + 3x < 10x - 5$$.
• Упростим: $$-4 + 3x < 10x - 5$$.
• Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую: $$3x - 10x < 4 - 5$$.
• Упростим: $$-7x < -1$$.
• Разделим обе части на -7 (не забываем изменить знак неравенства, так как делим на отрицательное число): $$x > \frac{1}{7}$$.
• Итак, второе неравенство имеет решение: $$x > \frac{1}{7}$$.
3. Третье неравенство: $$13-\frac{x}{2}>3(x+2)-1$$
• Раскроем скобки: $$13 - \frac{x}{2} > 3x + 6 - 1$$.
• Упростим: $$13 - \frac{x}{2} > 3x + 5$$.
• Умножим обе части неравенства на 2: $$26 - x > 6x + 10$$.
• Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую: $$-x - 6x > 10 - 26$$.
• Упростим: $$-7x > -16$$.
• Разделим обе части на -7 (не забываем изменить знак неравенства, так как делим на отрицательное число): $$x < \frac{16}{7}$$.
• Итак, третье неравенство имеет решение: $$x < \frac{16}{7}$$.
4. Объединим решения всех неравенств: $$\frac{1}{7} < x < 4$$ и $$x < \frac{16}{7}$$.
5. Так как $$\frac{16}{7} = 2 \frac{2}{7} < 4$$, то решением будет: $$\frac{1}{7} < x < \frac{16}{7}$$.

Ответ: $$\frac{1}{7} < x < \frac{16}{7}$$