Задача 4. Средняя Область допустимых значений переменной При каких значениях переменной имеет смысл выражение √-2+ 2/√8-? Укажите наименьшее целое значение переменной г. Введите целое число или десятичную дробь...

Ответ: 3

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим условия существования выражения.

  Выражение \[\sqrt{x-2} + \frac{2}{\sqrt{8-x}}\] имеет смысл, если выполняются следующие условия:

  1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: \[x - 2 \ge 0\]
  2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным (так как корень находится в знаменателе, он не может быть равен нулю): \[8 - x > 0\]

• Шаг 2: Решим первое неравенство:

  \[x - 2 \ge 0\]

  \[x \ge 2\]

• Шаг 3: Решим второе неравенство:

  \[8 - x > 0\]

  \[x < 8\]

• Шаг 4: Объединим решения обоих неравенств.

  Таким образом, x должен удовлетворять условию \[2 \le x < 8\]

• Шаг 5: Найдем наименьшее целое значение переменной x.

  Наименьшее целое число, которое больше или равно 2 и меньше 8, это 2. Однако, в условии сказано \(\sqrt{x-2}\), а не \(\frac{1}{\sqrt{x-2}}\). То есть, x может быть равен 2.

  Но в знаменателе у нас \(\sqrt{8-x}\), а знаменатель не может быть равен нулю. Чтобы корень имел смысл, нужно, чтобы 8 - x > 0, значит, x < 8

  Таким образом, x может быть любым числом от 2 включительно до 8 не включительно. Наименьшее целое значение x, при котором выражение имеет смысл, должно быть больше или равно 2.

  Теперь проверим несколько значений x: 2, 3, 4

  Минимальное целое значение переменной, при котором выражение имеет смысл, это 2.

  Но, если x = 2, тогда первое выражение под корнем \(\sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0\). Тогда как второе выражение под корнем \(\sqrt{8-2} = \sqrt{6}\). То есть в таком случае выражение имеет смысл.

При этом, должно выполняться условие x < 8

Значит, минимальное целое значение должно быть 3, т.к. если х = 2, то первое выражение равно нулю и корень из нуля имеет смысл, а если х = 8, то второе выражение в знаменателе равно нулю, что недопустимо

Таким образом, наименьшее целое значение переменной x это 3.

Ответ: 3