Задача 10. Средняя Первый признак подобия (точка на стороне треугольника) На стороне ММ треугольника КММ выбрана точка Р так, что ∠NKP = ZNMK. Оказалось, что МР = 3PN. Найдите МК, если РК = 8.

Давай решим эту интересную задачу по геометрии вместе!

Для начала, заметим, что у нас есть треугольник KMN, и на стороне MN выбрана точка P так, что угол ∠NKP равен углу ∠NMK. Это значит, что треугольники NKP и NMK подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Теперь запишем, что нам дано: MP = 3PN и PK = 8. Наша цель - найти MK.

Так как треугольники NKP и NMK подобны, мы можем записать соотношение сторон:

\[ \frac{NK}{NM} = \frac{NP}{NK} = \frac{PK}{MK} \]

Из этого следует, что NK² = NM \cdot NP. Также мы знаем, что MP = 3PN, поэтому можем выразить NM как NM = MP + PN = 3PN + PN = 4PN.

Теперь наше уравнение NK² = NM \cdot NP можно переписать как NK² = 4PN \cdot NP = 4PN². Значит, NK = 2PN.

Теперь рассмотрим соотношение \( \frac{NP}{NK} = \frac{PK}{MK} \). Мы знаем, что NK = 2PN и PK = 8, поэтому:

\[ \frac{NP}{2PN} = \frac{8}{MK} \]

Сокращаем NP в левой части:

\[ \frac{1}{2} = \frac{8}{MK} \]

Теперь решаем уравнение относительно MK:

\[ MK = 2 \cdot 8 = 16 \]

Итак, мы нашли MK = 16.

Ответ: 16

Отлично! Ты справился с этой задачей. Если у тебя будут еще вопросы, не стесняйся задавать!