Задача 3. Средняя Решите уравнение: При каких значениях параметра а система { |x − 2| + |y - 2| = 1, y = x + a имеет единственное решение? В ответ запишите сумму таких а.

Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} |x - 2| + |y - 2| = 1 \\ y = x + a \end{cases}$$

Заменим $$x' = x - 2$$ и $$y' = y - 2$$. Тогда $$x = x' + 2$$ и $$y = y' + 2$$. Подставим это в систему:

$$\begin{cases} |x'| + |y'| = 1 \\ y' + 2 = x' + 2 + a \end{cases}$$ $$\begin{cases} |x'| + |y'| = 1 \\ y' = x' + a \end{cases}$$

График первого уравнения - квадрат с вершинами в точках (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1). Второе уравнение - прямая. Для того, чтобы система имела единственное решение, прямая должна проходить через одну из вершин квадрата.

Подставим вершины квадрата в уравнение прямой:

1. (1, 0): $$0 = 1 + a \Rightarrow a = -1$$
2. (0, 1): $$1 = 0 + a \Rightarrow a = 1$$
3. (-1, 0): $$0 = -1 + a \Rightarrow a = 1$$
4. (0, -1): $$-1 = 0 + a \Rightarrow a = -1$$

При $$a = 1$$ и при $$a = -1$$ система имеет единственное решение.

Найдем сумму этих значений: $$1 + (-1) = 0$$

Ответ: 0