Задача 6. Средняя Сторона квадрата Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна 6.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника и квадрата.

Пусть сторона квадрата равна a. Так как две вершины квадрата лежат на гипотенузе, а две другие на катетах, то квадрат как бы «вписан» в треугольник.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Его углы при основании (катетах) равны 45 градусам. Это означает, что малые треугольники, образующиеся по углам исходного треугольника вне квадрата, также являются равнобедренными и прямоугольными.

Если гипотенуза большого треугольника равна 6, а сторона квадрата равна a, то катет малого треугольника, прилежащего к гипотенузе, равен $$\frac{6 - a}{2}$$.

Теперь, так как квадрат касается катетов исходного треугольника, сторона квадрата равна катету малого треугольника, то есть

$$ a = \frac{6 - a}{2}$$

Решим это уравнение:

$$ 2a = 6 - a$$ $$ 3a = 6$$ $$ a = 2$$

Таким образом, сторона квадрата равна 2.

Ответ: 2