Задача 4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (вершина S, основание ABCD) все ребра равны 10 см. а) Постройте угол между боковой гранью и плоскостью основания. б) Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. в) Найдите угол между боковым ребром и плоскостью соседней боковой грани.

Решение задачи 4:

а) Угол между боковой гранью и плоскостью основания - это угол между высотой боковой грани, проведенной из вершины пирамиды, и ее проекцией на плоскость основания. В правильной четырехугольной пирамиде основание - квадрат, и все боковые грани - равнобедренные треугольники.

Пусть O - центр квадрата ABCD. Тогда SO - высота пирамиды. Рассмотрим боковую грань SAB. Проведем высоту SH к стороне AB. Тогда угол SHO - это угол между боковой гранью SAB и плоскостью основания ABCD.

Так как все ребра пирамиды равны 10 см, то AO = AB / √2 = 10 / √2 = 5√2 см. AH = AB / 2 = 10 / 2 = 5 см. Из прямоугольного треугольника SAH найдем SH = √(SA² - AH²) = √(10² - 5²) = √75 = 5√3 см. Из прямоугольного треугольника SOH найдем tg(SHO) = SO / OH. OH = AH = 5 см, следовательно, SO = √(SA² - AO²) = √(10² - (5√2)²) = √50 = 5√2 см. Тогда tg(SHO) = (5√2) / 5 = √2. SHO = arctg(√2) ≈ 54.7°

б) Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания. Рассмотрим ребро SA. Его проекция на плоскость основания - это отрезок AO. Тогда угол SAO - это угол между ребром SA и плоскостью основания ABCD.

sin(SAO) = SO / SA = (5√2) / 10 = √2 / 2. SAO = arcsin(√2 / 2) = 45°.

в) Пусть дана пирамида SABCD. Боковое ребро SA и плоскость SBC - соседняя боковая грань. Пусть H - середина BC, O - центр квадрата. Тогда угол между боковым ребром SA и плоскостью SBC - это угол между SA и прямой SH. Рассмотрим проекцию точки А на плоскость SBC. Проведем перпендикуляр AK на SH. Угол ASK - искомый.

Площадь треугольника SBC: $$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$$

Площадь треугольника SAC: $$S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 50$$

Необходимо найти угол между SA и плоскостью SBC. $$sin \angle ASK = \frac{AK}{SA}$$. AK - высота из вершины A на SH в треугольнике ASH. $$S_{ASH} = \frac{1}{2} \cdot SH \cdot AH$$

Ответ:

а) arctg(√2) ≈ 54.7°
б) 45°
в) решение отсутствует