Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде АВCDA₁B₁C₁D₁ известно: АВ = 8, BC = 6, AA₁ = 15. а) Найдите угол (синус) между прямой А₁С и плоскостью (ВВ1С1). б) Найдите угол (тангенс) между прямой DB₁ и плоскостью (АВС).

Решение задачи 5:

Дано: параллелепипед АВCDA₁B₁C₁D₁, АВ = 8, BC = 6, AA₁ = 15.

a) Найдем угол (синус) между прямой А₁С и плоскостью (ВВ₁С₁).

Проведем перпендикуляр A₁K на плоскость (ВВ₁С₁). Тогда K лежит на прямой B₁C₁.

Искомый угол - угол A₁CK.

Найдем A₁C = √(A₁A² + AC²) = √(15² + 8² + 6²) = √(225 + 64 + 36) = √325 = 5√13.

Найдем A₁K = AB = 8, так как A₁KCB₁ - прямоугольник.

sin(A₁CK) = A₁K / A₁C = 8 / (5√13) = (8√13) / 65.

б) Найдем угол (тангенс) между прямой DB₁ и плоскостью (АВС).

Искомый угол - угол между DB₁ и ее проекцией на плоскость АВС. Проекцией DB₁ на плоскость АВС является DB. Значит, искомый угол - угол B₁DB.

tg(B₁DB) = BB₁ / DB = BB₁ / √(AB² + AD²) = 15 / √(8² + 6²) = 15 / √100 = 15 / 10 = 1.5.

Ответ:

а) (8√13) / 65
б) 1.5