Задача 2. В сосуде объемом Ѵ находиться газ с концентрацией частиц и или числом частиц №, движущихся со средней квадратичной скоростью о или имеющие среднюю кинетическую энергию частиц Ек. Масса одной частицы то. Определите величины под знаком «?»

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа:

$$P = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$$

Где:

• P - давление газа
• n - концентрация частиц
• m₀ - масса одной частицы
• <v²> - средний квадрат скорости

Также используем связь средней кинетической энергии частицы с температурой:

$$E_k = \frac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle$$

И уравнение Клапейрона-Менделеева:

$$PV = NkT$$

Где:

• P - давление
• V - объем
• N - число частиц
• k - постоянная Больцмана ($$1.38 \cdot 10^{-23}$$ Дж/К)
• T - температура

Или

$$PV = \frac{m}{M}RT$$

Где:

• m - масса газа
• M - молярная масса газа
• R - универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль*К))
• T - температура

Рассмотрим каждый вариант:

1. Вариант 1:

   Дано: v = 1000 м/с, N = 2·10²⁵, n = 3·10²⁵ м⁻³

   Найти: Eₖ, m₀, P

   Решение:

   Сначала найдем массу одной частицы m₀. Давление газа можно выразить как:

   $$P=\frac{N}{V}kT=nkT$$

   k - постоянная Больцмана ($$1.38 \cdot 10^{-23}$$ Дж/К)

   Не хватает данных для расчета, примем, что газ - гелий

   Молярная масса гелия M = 0.004 кг/моль.

   По уравнению Клапейрона-Менделеева:

   $$P = \frac{m}{M} \frac{RT}{V} = \frac{N}{V}kT$$ $$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{0.004}{6.022 \cdot 10^{23}} \approx 6.64 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$$

   Средняя кинетическая энергия:

   $$E_k = \frac{1}{2} m_0 v^2 = \frac{1}{2} \cdot 6.64 \cdot 10^{-27} \cdot (1000)^2 = 3.32 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$$

   Давление:

   $$P = \frac{1}{3} n m_0 v^2 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 10^{25} \cdot 6.64 \cdot 10^{-27} \cdot (1000)^2 = 6.64 \cdot 10^4 \text{ Па}$$

   Ответ: Eₖ = 3.32·10⁻²¹ Дж, m₀ = 6.64·10⁻²⁷ кг, P = 6.64·10⁴ Па

2. Вариант 2:

   Дано: v = 600 м/с, N = 2·10²⁵

   Найти: Eₖ, m₀, n, P, V

   Не хватает данных для расчета, примем, что газ - неон, объем V = 1 л

   Молярная масса неона M = 0.02 кг/моль

   Масса одной молекулы

   $$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{0.02}{6.022 \cdot 10^{23}} = 3.32 \cdot 10^{-26} кг$$

   Средняя кинетическая энергия:

   $$E_k = \frac{1}{2} m_0 v^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.32 \cdot 10^{-26} \cdot (600)^2 = 5.976 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$$

   Объем V = 1 л = 0,001 м³

   Давление:

   $$P = \frac{N}{V}kT$$

   Температуру:

   $$E_k = \frac{3}{2}kT$$ $$T = \frac{2E_k}{3k} = \frac{2 \cdot 5.976 \cdot 10^{-21}}{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23}} = 288.55 K$$ $$P = \frac{2 \cdot 10^{25}}{0.001} 1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 288.55 = 8 \cdot 10^7 Па$$

   Концентрацию:

   $$P=\frac{1}{3} n m_0 v^2$$ $$n = \frac{3P}{m_0v^2} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 10^{7}}{3.32 \cdot 10^{-26} \cdot (600)^2} = 2.01 \cdot 10^{30} \frac{1}{м^3}$$

   Ответ: V = 0,001 м³, Еₖ = 5.976·10⁻²¹ Дж, m₀ = 3.32·10⁻²⁶ кг, P = 8·10⁷ Па, n = 2.01·10³⁰ м⁻³

3. Вариант 3:

   Дано: n = 2.7·10²⁵ м⁻³, P = 10⁵ Па

   Найти: v, Eₖ, m₀, N, V

   Не хватает данных для расчета, примем, что газ - кислород. Объем V = 1 л

   Молярная масса кислорода M = 0.032 кг/моль.

   Масса одной молекулы:

   $$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{0.032}{6.022 \cdot 10^{23}} = 5.31 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$$

   Средняя кинетическая энергия:

   $$P = \frac{2}{3}nE_k$$ $$E_k = \frac{3}{2} \frac{P}{n} = \frac{3}{2} \frac{10^5}{2.7 \cdot 10^{25}} = 5.56 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$$

   Cредняя квадратичная скорость:

   $$E_k = \frac{1}{2}m_0 v^2$$ $$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_0}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5.56 \cdot 10^{-21}}{5.31 \cdot 10^{-26}}} = 457.5 \text{ м/с}$$

   Число частиц:

   $$P = n k T$$ $$E_k = \frac{3}{2} k T \rightarrow T = \frac{2}{3} \frac{E_k}{k} = \frac{2 \cdot 5.56 \cdot 10^{-21}}{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23}} = 268.5 \text{ К}$$ $$PV = NkT$$ $$N = \frac{PV}{kT} = \frac{10^5 \cdot 0.001}{1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 268.5} = 2.7 \cdot 10^{24}$$

   Ответ: V = 0,001 м³, Еₖ = 5.56·10⁻²¹ Дж, m₀ = 5.31·10⁻²⁶ кг, v = 457.5 м/с, N = 2.7·10²⁴

4. Вариант 4:

   Дано: N = 2·10²⁶, P = 6·10⁵ Па

   Найти: v, Eₖ, m₀, n, V

   Не хватает данных для расчета, примем, что газ - водород

   M = 0.002 кг/моль

   Масса одной молекулы:

   $$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{0.002}{6.022 \cdot 10^{23}} = 3.32 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$$

   Для того чтобы найти объем, необходимо знать температуру или концентрацию. Но концентрация связана с числом частиц и объемом.

   Пусть температура будет T = 300 К

   $$V = \frac{NkT}{P} = \frac{2 \cdot 10^{26} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{6 \cdot 10^5} = 0.0138 м^3$$

   Концентрация:

   $$n = \frac{N}{V} = \frac{2 \cdot 10^{26}}{0.0138} = 1.45 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}$$

   Cредняя квадратичная скорость:

   $$P=\frac{1}{3} n m_0 v^2 \rightarrow v = \sqrt{\frac{3P}{nm_0}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 6 \cdot 10^5}{1.45 \cdot 10^{28} \cdot 3.32 \cdot 10^{-27}}} = 353.6 \text{ м/с}$$

   Средняя кинетическая энергия:

   $$E_k = \frac{1}{2}m_0 v^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.32 \cdot 10^{-27} \cdot (353.6)^2 = 2.08 \cdot 10^{-22} \text{ Дж}$$

   Ответ: V = 0.0138 м³, Еₖ = 2.08·10⁻²² Дж, m₀ = 3.32·10⁻²⁷ кг, v = 353.6 м/с, N = 1.45·10²⁸

5. Вариант 5:

   Дано: n = 3·10²⁵ м⁻³, P = 2·10⁴ Па

   Найти: v, Eₖ, m₀, N, V

   Не хватает данных для расчета, примем, что газ - аргон

   M = 0.04 кг/моль

   Масса одной молекулы:

   $$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{0.04}{6.022 \cdot 10^{23}} = 6.64 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$$

   Средняя кинетическая энергия:

   $$P = \frac{2}{3}nE_k \rightarrow E_k = \frac{3P}{2n} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 10^4}{2 \cdot 3 \cdot 10^{25}} = 10^{-21} Дж$$

   Cредняя квадратичная скорость:

   $$E_k = \frac{1}{2}m_0 v^2 \rightarrow v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_0}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-21}}{6.64 \cdot 10^{-26}}} = 173.5 \text{ м/с}$$

   Число частиц:

   Чтобы узнать число частиц нужно задать объем. Примем V = 1 л = 0.001 м³

   $$n = \frac{N}{V} \rightarrow N = nV = 3 \cdot 10^{25} \cdot 0.001 = 3 \cdot 10^{22}$$

   Ответ: V = 0.001 м³, Еₖ = 10⁻²¹ Дж, m₀ = 6.64·10⁻²⁶ кг, v = 173.5 м/с, N = 3·10²²