Задача 2. Вводная Число и делимость Игорь написал на доске трёхзначное число, которое обладает следующими свойствами: 1) если это число разделить на 3, то частное будет двузначным, при этом остатка не будет; 2) если из этого числа вычесть 5, то результат будет делиться нацело на 25; 3) если к этому числу прибавить 1, то результат будет делиться нацело на 4. Какое число написал на доске Игорь?

Решение:

Пусть x - искомое число.

Из условия 1 следует, что x делится на 3, то есть x = 3k, где k - целое число. Также, частное k должно быть двузначным, то есть 10 ≤ k ≤ 33.

Из условия 2 следует, что x - 5 делится на 25, то есть x - 5 = 25m, где m - целое число. Следовательно, x = 25m + 5.

Из условия 3 следует, что x + 1 делится на 4, то есть x + 1 = 4n, где n - целое число. Следовательно, x = 4n - 1.

Таким образом, мы имеем три выражения для x:

1. x = 3k, где 10 ≤ k ≤ 33
2. x = 25m + 5
3. x = 4n - 1

Приравняем (2) и (3):

25m + 5 = 4n - 1

4n = 25m + 6

n = (25m + 6) / 4

Так как n - целое число, то 25m + 6 должно делиться на 4. Проверим возможные значения m:

• m = 1: 25(1) + 6 = 31 (не делится на 4)
• m = 2: 25(2) + 6 = 56 (делится на 4)
• m = 3: 25(3) + 6 = 81 (не делится на 4)
• m = 4: 25(4) + 6 = 106 (не делится на 4)
• m = 5: 25(5) + 6 = 131 (не делится на 4)
• m = 6: 25(6) + 6 = 156 (делится на 4)

Если m = 2, то x = 25(2) + 5 = 55. Но это не трехзначное число, поэтому этот вариант не подходит.

Если m = 6, то x = 25(6) + 5 = 155. Проверим, делится ли 155 на 3. 155 / 3 = 51.66..., что не является целым числом. Этот вариант тоже не подходит.

Продолжим перебор m:

• m = 7: 25(7) + 6 = 181 (не делится на 4)
• m = 8: 25(8) + 6 = 206 (не делится на 4)
• m = 9: 25(9) + 6 = 231 (не делится на 4)
• m = 10: 25(10) + 6 = 256 (делится на 4)

Если m = 10, то x = 25(10) + 5 = 255. Проверим, делится ли 255 на 3. 255 / 3 = 85, что является целым числом. Также, 85 - двузначное число.

Проверим условие 3: 255 + 1 = 256. 256 / 4 = 64, что является целым числом.

Таким образом, x = 255 удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 255

Молодец! Ты отлично справился с задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!