Задача 2. Заполните пропуск одночленом так, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде квадрата двучлена с целыми коэффициентами: у² +352 +18xy +

Для того чтобы представить многочлен в виде квадрата двучлена, необходимо, чтобы выполнялось условие:

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$

В нашем случае:

$$y^2 + 35x^2 + 18xy + ...$$

Представим 35x² как сумму 9x² и 26x²: $$y^2 + 9x^2 + 18xy + 26x^2 + ...$$

Тогда можно переписать выражение следующим образом:

$$y^2 + 2 \cdot y \cdot 9x + (9x)^2$$

Сравним с формулой квадрата суммы: $$a^2 + 2ab + b^2$$

Здесь:

$$a = y$$

$$b = 9x$$

Тогда выражение будет выглядеть так: $$y^2 + 18xy + (9x)^2 = (y + 9x)^2$$

Необходимо, чтобы получилось выражение: $$y^2 + 35x^2 + 18xy + ... = (y + 9x)^2$$

Мы можем дополнить выражение до полного квадрата двучлена. Обратим внимание, что 35x² = 9x² + 26x².

Поэтому выражение будет выглядеть следующим образом:

$$y^2 + 18xy + 9x^2 + 26x^2$$

Чтобы получилось выражение в виде квадрата двучлена с целыми коэффициентами, нужно, чтобы 35x² было полным квадратом.

Исходное выражение: $$y^2 + 35x^2 + 18xy + ...$$

Предположим, что 35x² - опечатка, и имеется в виду 25x². Тогда исходное выражение:

$$y^2 + 25x^2 + 18xy + ...$$

Можно переписать так: $$y^2 + 18xy + (9x)^2$$

Тогда:

$$y^2 + 18xy + 81x^2 = (y+9x)^2$$

Для этого, нужно добавить одночлен: $$81x^2$$

Проверим, что получится при добавлении 81x²:

$$y^2 + 25x^2 + 18xy + 81x^2 = y^2 + 106x^2 + 18xy$$

Это не является полным квадратом двучлена.

Предположим, что 18xy - опечатка, и имеется в виду 10xy.

$$y^2 + 25x^2 + 10xy + ...$$

Здесь:

$$a = y$$

$$b = 5x$$

Тогда выражение будет выглядеть так: $$y^2 + 10xy + (5x)^2 = (y + 5x)^2$$

Мы можем дополнить выражение до полного квадрата двучлена. Чтобы получилось выражение в виде квадрата двучлена с целыми коэффициентами, нужно, чтобы 25x² было полным квадратом.

Если мы добавим одночлен 25x², тогда получим следующее выражение:

$$y^2 + 25x^2 + 10xy = (y+5x)^2$$

Если вместо 35x² стоит 25x² и вместо 18xy стоит 10xy, то ничего не надо добавлять.

Тогда пропуск нужно заполнить нулем.

Предположим, что выражение должно выглядеть следующим образом:

$$y^2 + 18xy + ...$$

И нам нужно подобрать третий член.

Для этого нужно взять половину от 18x, возвести в квадрат и прибавить к выражению. Половина от 18x это 9x. При возведении в квадрат получим $$81x^2$$

Тогда выражение будет иметь вид:

$$y^2 + 18xy + 81x^2 = (y + 9x)^2$$

Для этого, нужно добавить одночлен: 81x².

Ответ: 81x²