Задача 1. Базовые соотношения (часы и стрелки). Длина секундной стрелки настенных часов равна 15 см, а минутной — 10 см. Считайте движение стрелок равномерным. 1. Найдите периоды обращения T₁ и T₂, а также угловые скорости ω₁ и ω₂ секундной и минутной стрелок. 2. Найдите линейные скорости кончиков обеих стрелок (v₁ и v₂). 3. Во сколько раз центростремительное ускорение кончика секундной стрелки больше центростремительного ускорения кончика минутной стрелки?

Обозначим индексом 1 секундную стрелку, индексом 2 — минутную. Их длины: r₁ = 15 см = 0,15 м и r₂ = 10 см = 0,10 м.

1. Период — время одного полного оборота. Секундная стрелка делает оборот за 60 с, минутная — за 3600 с:

   \(T_1=60\ \text{с},\quad T_2=3600\ \text{с}.\)

   Угловая скорость определяется формулой \(\omega=\frac{2\pi}{T}\):

   \(\omega_1=\frac{2\pi}{60}=\frac{\pi}{30}\approx0.1047\ \text{рад/с},\quad \omega_2=\frac{2\pi}{3600}=\frac{\pi}{1800}\approx0.001745\ \text{рад/с}.\)

2. Линейная скорость конца стрелки: \(v=\omega r\).

   \(v_1=\frac{\pi}{30}\cdot0.15=\frac{\pi}{200}\approx0.0157\ \text{м/с}.\)

   \(v_2=\frac{\pi}{1800}\cdot0.10=\frac{\pi}{18000}\approx5.24\cdot10^{-4}\ \text{м/с}.\)

3. Центростремительное ускорение \(a=\omega^2r\). Поэтому

   \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{\omega_1^2r_1}{\omega_2^2r_2}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2\frac{r_1}{r_2}=60^2\cdot\frac{0.15}{0.10}=5400.\)

Ответ: \(T_1=60\) с, \(T_2=3600\) с; \(\omega_1\approx0.1047\) рад/с, \(\omega_2\approx0.001745\) рад/с; \(v_1\approx0.0157\) м/с, \(v_2\approx5.24\cdot10^{-4}\) м/с; ускорение кончика секундной стрелки больше в 5400 раз.