Задача 1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противоположный основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть угол при основании равен \(\alpha\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

\(2\alpha+120^\circ=180^\circ\), откуда \(\alpha=30^\circ\).

Боковая сторона длины 5 лежит напротив угла \(30^\circ\). По теореме синусов диаметр описанной окружности равен отношению стороны к синусу противолежащего угла:

\(D=2R=\frac{5}{\sin 30^\circ}=\frac{5}{1/2}=10\).

Ответ: 10.